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On a problem in the theory of uniform distribution. I. (English) Zbl 0031.25402

Die Verff. formulieren folgenden Satz: Liegen alle Nullstellen z ν des Polynoms f(z)=a 0 +a 1 z++a n z n außerhalb |z|<1 und ist, für ein festes ϑ mit 0<ϑ<1 auf |z|=ϑ, |f(z)|M ϑ , dann gilt, wenn M ϑ |a 0 a n |=e n/g(n,ϑ) gesetzt wird [ng(n,ϑ)2], für alle 0α<β2π

ν αarcz ν βmod2π 1-β-α 2πν<Clog4 ϑn logg(n,ϑ)·(1)

Beim Beweis soll folgende ”endliche” Form des Gleichverteilungssatzes von H. Weyl verwendet werden. Sind φ 1 ,···,φ n reell und |s k |= r=1 n e kiφ r ψ(k) (k=1,···,m), m=m(n)1, dann gilt für jedes 0α<β2π

ν αφ ν βmod2π 1-β-α 2π<Cn m+1+ k=1 m ψ(k) k·

In dieser Note werden die beiden Sätze diskutiert und gezeigt, daß sich die Abschätzung in (1) in bezug auf n nicht weiter verbessern läßt. Weiter wird der Beweis des ersten Satzes vorbereitet, in dem gezeigt wird, daß man ihn auf den Fall zurückführen kann, wo alle z ν auf |z|=1 liegen.

11K06General theory of distribution modulo 1