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Elements of algebraic geometry. I: The language of schemes. II: A global elementary study on some classes of morphisms. III: A study on the cohomology of coherent sheaves (first part). (Éléments de géométrie algébrique. I: Le langage des schémas. II: Étude globale élémentaire de quelques classe de morphismes. III: Étude cohomologique des faisceaux cohérents (première partie).) (French) Zbl 0118.36206

Von dieser großangelegten Neubegründung der algebraischen Geometrie in den “Elementen” (abgekürzt EGA) – in der Einleitung werden vorläufig die Titel von 13 Kapiteln angegeben – sind bisher dreieinhalb Kapitel mit einem Umfang von annähernd 1000 Seiten erschienen. Besser als ein Referat können über Zielsetzung, Ergebnisse und Methoden dieser umfang- und inhaltsreichen Darstellung die vom Verf. in den Jahren 1957–62 im Séminaire Bourbaki gehaltenen 8 Vorträge Auskunft geben, die inzwischen unter dem Titel “Fondements de la géométrie algébrique, Extraits du Séminaire Bourbaki 1957–62, Paris 1962” gesammelt erschienen sind, sowie die Vorträge vom Verf. [Proc. internat. Congr. Math. 14–21 Aug. 1958, 103–118 (1960; Zbl 0119.36902)] und von J. P. Serre [Proc. internat. Congr. Math. 15–22 Aug. 1962, 190–196 (1963; Zbl 0126.16703)]. In einem Kapitel 0, jeweils den Kapiteln 1, 3,1. und 4,1 vorangestellt, werden Ergebnisse der kommutativen und der homologischen Algebra sowie der Garbentheorie als Hilfsmittel zusammengetragen. Man vergleiche auch die Errata und Addenda am Ende von Kap. 2, Kap. 3,2 und Kap. 4,1.

Grob gesprochen treten in der Grothendieckschen Theorie der Schemata an die Stelle der Polynomalgebren und ihrer Restklassenringe in der klassischen algebraischen Geometrie beliebige kommutative Ringe, zuweilen mit “Endlichkeitsvoraussetzungen”, z.B. Noethersche Ringe. Jedenfalls sind diese Voraussetzungen erfüllt für die in der Zahlentheorie wichtigen Ringe. Es ist in diesem Rahmen auch möglich, Schemata über lokalen Ringen, sowie solche mit nilpotenten Elementen in den Ringen der Strukturgarbe zu betrachten, was technisch von höchster Bedeutung ist (vgl. den Übergang von gewöhnlichen zu formellen Schemata). Der Zusammenhang zwischen dem Lokalen und dem Globalen formuliert sich wie in der analytischen Geometrie am bequemsten in der Sprache der Garbentheorie. Eingeführt in die abstrakte algebraische Geometrie wurde die letztere zusammen mit den Methoden der algebraischen Topologie ausgehend von der Zariski Topologie einer Varietät von J.-P. Serre in der für die moderne algebraische Geometrie richtungsweisenden Arbeit FAC [Ann. Math. (2) 61, 197–278 (1955; Zbl 0067.16201)]. Ferner macht die Darstellung ausgiebig Gebrauch von der “funktoriellen Sprache” wie sie bei H. Cartan und S. Eilenberg, “Homological algebra” (Princeton 1956) und A. Grothendieck [Sur quelques points d’algebre homologique. Traduction du français par B. B. Venkov, A. V. Rukolaine und B. V. Stepanov, Moskau: Verlag für ausländische Literatur (1961; Zbl 0118.26103)] u.a. vor allem in der algebraischen Topologie entwickelt wurde. Dies macht die Lektüre der EGA für einen darin ungeübten Leser bisweilen etwas mühsam. Er wird aber schließlich für seine Mühen durch die Fülle der Resultate und vor allem der gewonnenen neuen Gesichtspunkte reich belohnt werden. Im einzelnen enthält Kapitel 0 aus der kommutativen Algebra Grundlegendes über Quotientenringe und Quotientenmoduln, irreduzible und Noethersche topologische Räume, flache und treu flache Moduln und Ringerweiterungen und im Hinblick auf die formellen Schemata über zulässige (anneaux admissible) und adische Ringe (anneaux adique), was man inzwischen zum Teil auch bei N. Bourbaki [Éléments de mathématique, Algèbre commutative, chap. 1–4, Actualites scientifiques et industrielles. 1290. Paris: Hermann & Cie. 187 p. (1961; Zbl 0108.04002)] nachlesen kann. Dabei heißt ein Ring A zulässig, wenn er vollständiger topologischer Ring ist mit einem Fundamentalsystem von Nullumgebungen bestehend aus Idealen und einem offenen Ideal J, das topologisch nilpotent ist. Ein solches Ideal heißt ein Definitionsideal. Die Definitionsideale bilden eine Basis für die Nullumgebungen. Man kann daher A auch erhalten als projektiven Limes A=lim A λ eines projektiven Systems (A λ ,u λμ ) von diskreten Ringen A λ mit einer nach rechts gefilterten Indexmenge L, die ein kleinstes Element 0 besitzt, so daß i) u λ :AA λ surjektiv und ii) der Kern von u 0λ :A λ A 0 nilpotent ist. Spezialfälle sind die lokalen linear kompakten Ringe. Ein zulässiger Ring A heißt J-adisch wenn J ein Definitionsideal ist, dessen Potenzen J n ein Fundamentalsystem von Nullumgebungen bilden. [Proposition (7.2.4.) ist in der angegebenen Form falsch. Siehe (Err III , 3) in Kapitel 3,2 p. 87]. Ferner enthält Kapitel 0 Grundlegendes aus der Garbentheorie und der Theorie der geringten Räume. Erwähnenswert ist vielleicht die “richtige” Definition des “reziproken Bildes” als links adjungierter Funktor des Funktors “direktes Bild”.

Kapitel 1 entwickelt die Sprache der Schemata beginnend mit den affinen Schemata. Für einen kommutativen Ring A ist Spec(A) die Menge der Primideale von A versehen mit der Zariski Topologie. Das affine Schema Spec(A) ist nun der eben definierte topologische Raum, mit einer durch A definierten Garbe von Ringen A ˜, also Strukturgarbe. Die Faser über dem Punkt 𝔭Spec(A) ist gleich dem Quotientenring A 𝔭 also lokal. Ein Präschema X ˜ ist ein geringter topologischer Raum, der eine Überdeckung durch offene affine Mengen V i besitzt. Dabei heißt VX offen affin, wenn die offene Menge V mit der von X induzierten geringten Struktur ein affines Schema im obigen Sinne ist. Ein Morphismus zwischen Präschemata ist ein Morphismus zwischen den geringten Räumen, der in den Fasern lokale Homomorphismen induziert. Mit dieser Definition ist die Kategorie der affinen Schemata dual zur Kategorie der kommutativen Ringe. Die Kategorie der quasikohärenten Garben auf Spec(A) ist äquivalent zur Kategorie der A-Moduln, die der kohärenten zur Kategorie der endlich erzeugten A-Moduln, falls A Noethersch. In der Kategorie der Präschemata existieren endliche Faserprodukte. Deren Definition ist typisch für alle allgemeinen Konstruktionen in Kategorien: Man überträgt in der Kategorie der Mengen definierte Begriffe mit Hilfe von Hom 𝐊(,) in die beliebige Kategorie 𝐊 (hier die der Präschemata): Für Morphismen XS, YS ist das Faserprodukt über S X× SY dasjenige Präschema 𝐊, für welches für alle T𝐊, Hom 𝐊(T,X× SY)Hom(T,X)× Hom(T,S)Hom(T,Y) funktoriell in T ist, wo rechts das Faserprodukt in der Kategorie der Mengen steht. Falls es ein solches Präschema gibt, ist es durch diese Forderung bis auf kanonische Isomorphie eindeutig bestimmt. Man sagt auch X× SY repräsentiert den Funktor THom(T,X)× Hom(T,S)Hom(T,Y) von der gegebenen Kategorie der Präschemata 𝐊 in die Kategorie der Mengen 𝐄. Das Faserprodukt liefert auch die Definition der Fasern eines Morphismus f:XY über Punkten yY. Es ist f ¯ 1 (y)=X× YSpec(k(y)), wenn k(y)=𝒪 y /m y den Restklassenkörper der Faser 𝒪 y über yY der Strukturgarbe von Y bezeichnet, bezüglich des kanonischen Morphismus Spec(k(y))Y. f ¯ 1 (y) ist ein Präschema über Spec(k(y)), also über einem Körper. Unterpräschemata von (X,𝒪 x ) sind folgendermaßen definiert: Die abgeschlossenen Unterpräschemata Y entsprechen 1-1 den quasikohärenten Garben 𝒥 von Idealen 𝒪 X : Der Träger Y von 𝒪 X /𝒥 ist abgeschlossen in X und liefert den unterliegenden Raum, 𝒪 X 𝒥 die Strukturgarbe 𝒪 Y von Y. So entsprechen die (dann wieder affinen) abgeschlossenen Unterpräschemata des affinen Schemas Spec(A) eindeutig den Idealen A. Verschiedene solche können also durchaus denselben unterliegenden Raum haben. Dies ist ein Gesichtspunkt, den W. Gröbner immer schon vertreten hat. Ein offenes Unterpräschema Y von (X,𝒪 X ) ist die offene Menge Y versehen mit der Strukturgarbe 𝒪 X|Y . Allgemein ist ein Unterpräschema ein abgeschlossenes Unterpräschema eines offenen Unterpräschemas, der unterliegende Raum also lokal abgeschlossene Teilmenge. Ein Morphismus f:XY heißt separiert, wenn der kanonische Diagonalmorphismus X@>Δ>>X× YX eine abgeschlossene Einbettung von X liefert, d.h. wenn X vermöge Δ ein abgeschlossenes Unterpräschema von X× YX ist. Jedes Präschema X kann, da nur unitäre Ringe betrachtet werden, als Präschema über aufgefaßt werden: XSpec(). X heißt Schema, wenn dieser kanonische Morphismus separiert ist. Von besonderer Bedeutung sind später Endlichkeitsbedingungen: Ein Schema heißt Noethersch, wenn es durch endlich viele offene affine Schemata zu Noetherschen Ringen überdeckbar ist, ein Morphismus f:XY von endlichem Typ, wenn Y= α V α von offen affinen V α , so daß f ¯ 1 (V α )= endl. U αi von endlich vielen offenen affinen U αi zu Ringen A(U αi ) die endlich erzeugte Algebren über A(V α ) sind. Ist K ein Körper, so heißt ein Schema K-algebraisch, wenn es von endlichem Typ über Spec(K) ist. Die reduzierten, irreduziblen, K-algebraischen Schemata X sind gerade die Chevalleyschen Schemata von lokalen Ringen in einem Körper. Dabei heißt ein Präschema reduziert, wenn die lokalen Ringe in seiner Strukturgarbe keine nilpotenten Elemente enthalten.

Man erhält diesen Zusammenhang, indem man vom Körper der rationalen Funktionen auf X ausgeht, das sind Schnitte in der Strukturgarbe 𝒪 X über offenen in X dichten Teilmengen. Allgemeiner werden für zwei Präschemata X und Y rationale Abbildungen definiert. Schließlich werden einige schöne Eigenschaften für quasikohärente Garben auf Präschemata bewiesen (Fortsetzung von quasikohärenten Garben, Fortsetzung von Schnitten in solchen, Quasikohärenz der direkten Bilder von solchen). Im letzten Paragraphen werden formelle Schemata eingeführt: Für einen zulässigen Ring A ist Spf(A) die Menge der offenen Primideale von A. Es ist Spf(A)=Spec(A/J) für jedes Definitionsideal J von A, also eine abgeschlossene Teilmenge von Spec(A). Auf Spf(A) versehen mit der Zariski Topologie erhält man für ein Fundamentalsystem von Nullumgebungen bestehend aus Definitionsidealen J λ ein projektives System von Garben von Ringen 𝒪 λ =A/J λ ˜, wenn A/J λ ˜, die dem Ring A/J λ , auf Spec(A/J λ )=Spf(A) zugeordnete Garbe von Ringen bezeichnet. Beschränkt man sich auf eine Basis für die Topologie von Spf(A) bestehend etwa aus offenen affinen Teilmengen U, so kann man den projektiven Limes 𝒪=lim λL 𝒪 λ der Garben 𝒪 λ als Garbe von topologischen Ringen auf Spf(A) betrachten, wenn man für jedes U Γ(U,𝒪)=lim λL Γ(U,𝒪 λ ) dem topologischen projektiven Limes des Systems der diskreten Ringe Γ(U,𝒪 λ ) setzt. Spf(A) mit dieser Strukturgarbe 𝒪 von topologischen Ringen ist das formelle affine Schema Spf(A) zum zulässigen Ring A. Ein formelles Präschema X ist ganz analog ein topologischer Raum X mit einer Strukturgarbe 𝒪 X von topologischen Ringen, der eine Überdeckung durch offene formelle affine Mengen V i besitzt, und ein Morphismus zwischen formellen Präschemata ist ein Morphismus zwischen den topologisch geringten Räumen, der in den Fasern lokale Homomorphismen induziert. Mit dieser Definition ist die Kategorie der formalen affinen Schemata dual zur Kategorie der zulässigen Ringe mit stetigen Ringhomomorphismen als Morphismen. Formelle Schemata treten auf, wenn man ein der Einfachheit halber etwa Noethersches gewöhnliches Präschema längs einer abgeschlossenen Teilmenge X ' komplettiert. Dazu sei Φ die Menge der kohärenten Ideale 𝒥 mit Träger (𝒪 X /𝒥)=X ' . Φ ist nach rechts gefiltert. X ' versehen mit der Garbe von topologischen Ringen 𝒪 ^=lim 𝒥Φ 𝒪 X /𝒥 ist ein formelles Präschema, die Komplettierung von X längs X ' , und wird mit X ^ bezeichnet. Ist X=Spec(A) und X ' die dem Ideal JA entsprechende abgeschlossene Teilmenge, so ist X kanonisch isomorph zu Spf(A ^), wo A ^ die Komplettierung von A nach der J-adischen Topologie ist. Ebenso erhält man für eine kohärente Garbe F auf X eine kohärente Garbe ^=lim 𝒥Φ ( 𝒪 X (𝒪 X /𝒥)) auf X. Die Schnitte in 𝒪 ^ sind nichts anderes als die von O. Zariski eingeführten “holomorphen Funktionen” [Mem. Am. Math. Soc. 5, 90 p. (1951; Zbl 0045.24001)]. Vermöge der kanonischen Homomorphismen 𝒪 X 𝒪 X /𝒥 erhält man einen Homomorphismus der Garben von Ringen ϑ:𝒪 X ψ * (𝒪 ^)=lim 𝒥Φ 𝒪 X /𝒥, wenn ψ die Injektion X ' X bezeichnet. i=(ψ,ϑ):X ^X ist daher ein Morphismus geringter Räume, und es ist der zu dem aus (𝒪 X /𝒥) wie eben erhaltenen Homomorphismus i * ( ^) adjungierte Homomorphismus i * () ^ ein Isomorphismus. Der Funktor ^ ist exakt. Ist f:XY ein Morphismus zwischen Noetherschen Präschemata und sind X ' ,Y ' abgeschlossene Teilmengen mit f(X ' )Y ' , dann besitzt f eine eindeutig bestimmte Fortsetzung auf die Komplettierungen von X bzw. Y längs X ' bzw. Y ' f ^:X ^Y ^. Schließlich wird die Kategorie der formellen Schemata untersucht und es werden die wichtigsten Definitionen auf formelle Schemata übertragen (Noethersche formelle Präschemata, Morphismen von endlichem Typ, separierte Morphismen usw.).

Das 2. Kapitel behandelt einige neue Klassen von Morphismen, von denen hier im wesentlichen nur funktorielle und globale Eigenschaften betrachtet werden, die oft unschwer aus den Definitionen folgen. Die zu definierenden Klassen von Morphismen ergeben sich aus Klassen von algebraischen Varietäten in der klassischen algebraischen Geometrie nach dem folgenden Prinzip. An die Stelle des dort festen Grundkörpers k oder auch an die Stelle von Spec(k) tritt hier ein beliebiges Präschema S, und anstatt eine k Varietät V zu betrachten, betrachtet man hier ein Präschema X zusammen mit einem Morphismus f:XS. An die Stelle von Eigenschaften von V treten nun Eigenschaften des Morphismus f. Aus diesen allgemeineren “relativen” Eigenschaften erhält man die “absoluten Eigenschaften” im Spezialfall, daß S=Spec(k) ein Punkt ist. Folgende triviale Tatsache wird hier verallgemeinert: Ist AB ein Homomorphismus zwischen Ringen, so entspricht diesem ein Morphismus zwischen den affinen Schemata f:Spec(B)Spec(A). Es ist A=Γ(Spec(A),A ˜), A ˜ die Strukturgarbe von Spec(A). Ganz, analog gilt nun, wenn Spec(A) durch ein beliebiges Präschema S, A ˜ durch dessen Strukturgarbe 𝒪 S , ersetzt wird: Ist eine quasikohärente (abgekürzt q.k.) Garbe von Ringen auf S und 𝒪 S ein Garbenhomomorphismus, kurz B eine q.k. 𝒪 S -Algebra, so gehört dazu ein Schema X=Spec() und ein Morphismus f:XS. Man erhält rückwärts in der Form =f * (𝒪 X ). Ein Morphismus f zwischen Präschemata X@>f>>S heißt affin wenn =f * (𝒪 X ), q.k. ist, X=Spec() und f gleich dem zugehörigen Morphismus XS ist. Affine Morphismen sind durch folgende Eigenschaften gekennzeichnet: Es existiert eine Überdeckung S= α S α von S durch offene affine S α , so daß die offenen Mengen f ¯ 1 (S α )X affin sind. Die Kategorie der “über S affinen Schemata” ist dual zur Kategorie der q.k. 𝒪 S -Algebren über S. Für ein beliebiges S Präschema Y und X=Spec() wie oben entsprechen die S-Morphismen YX=Spec() eineindeutig den 𝒪 S -Homomorphismen f * (𝒪 Y ).

Ein vektorielles Faserbündel über S entsteht aus einer q.k. Garbe von 𝒪 S -Moduln folgendermaßen: Man bildet mit dem 𝒪 S -Modul , die symmetrische Algebra 𝐒(), eine q.k. 𝒪 S -Algebra. 𝐕()=Spec(𝐒()) ist dann das durch definierte vektorielle Faserbündel über S. Die Garbe der Keime von S-Schnitten von 𝐕() ist gleich ˇ=Hom 𝒪 S (,𝒪 S ). Die üblichen Vektorraumbündel entsprechen dabei den lokal freien 𝒪 S -Moduln .

Ist B eine graduierte A-Algebra, d.h. eine graduierte Algebra mit einem Ringhomomorphismus AB 0 (= Bestandteil 0-ten Grades von B), und wird B + = n>0 B n von B 1 erzeugt, so wird in bekannter Weise über dem homogenen Spektrum (d.h. der Menge der homogenen Primideale von B, die B + nicht umfassen) die Struktur eines Schemas X=Proj(B) mit einem Morphismus XSpec(A) definiert. Den graduierten B-Moduln entsprechen q.k. 𝒪 X -Moduln, insbesondere den graduierten B-Moduln B(n) (Graduierung um n verschoben) invertierbare 𝒪 X -Moduln 𝒪 X (n) (bezüglich , d.h. lokal zu 𝒪 X isomorphe 𝒪 X -Moduln). Ist φ:B ' B ein Homomorphismus zwischen graduierten A-Algebren, X=Proj(B), X ' =Proj(B ' ), so wird durch φ im allgemeinen nur ein (affiner) Morphismus Φ=Proj(φ):G(φ)X ' über Spec(A), eines offenen Unterschemas G(φ) von X in X ' definiert. Man hat einen kanonischen Homomorphismus Φ * (𝒪 X ' (n))𝒪 X (n)| G(φ) . Ganz analog erhält man, wenn Spec(A) durch ein beliebiges Präschema S ersetzt wird: Ist eine q.k. graduierte 𝒪 S -Algebra, die von 1 erzeugt wird, so gehört dazu ein Präschema X=Proj() und ein separierter Morphismus f:XS, ferner invertierbare 𝒪 X -Moduln 𝒪 X (n). Ebenso gehört zu einem Homomorphismus φ: ' von q.k. graduierten 𝒪 S -Algebren ein Morphismus Φ=Proj(φ):G(φ)X ' =Proj( ' ) über S, wo G(φ) wieder im allgemeinen nur ein offenes Unterpräschema von X=Proj() ist.

Y sei vermöge q:YS ein Präschema über S, ein invertierbarer 𝒪 Y Modul. Dann ist = n0 n eine q.k. graduierte 𝒪 Y -Algebra und Proj() kanonisch isomorph zu Y [entsprechend der Isomorphie Proj(A[T])=Spec(A)]. Setzt man nun q * ( ' )= '' , so ist '' eine q.k. graduierte 𝒪 Y -Algebra zu der das Y-Schema Proj(q * ( ' ))=Proj( ' )× SY=X ' × SY gehört. Den Homomorphismen φ: '' entsprechen nun wieder Morphismen

Φ=Proj(φ):G(φ)X ' × S Y@>pr X ' >>X ' ,G(φ)offeninY·

Ein projektives Faserbündel X ' über S entsteht aus einem q.k. 𝒪 Y -Modul folgendermaßen: Man bildet die symmetrische Algebra S()= ' , eine q.k. 𝒪 S -Algebra, und setzt Proj(S())=()=X ' . Ein Homomorphismus ψ:q * () induziert einen Homomorphismus der Algebren q * (𝐒()), also von '' =q * ( ' ). So erhält man eine (1-1)-Beziehung zwischen S-Morphismen Φ:Y()=X ' von ganz Y in X ' und Klassen von Paaren (,ψ), bestehend aus einem invertierbaren 𝒪 Y -Modul und einem surjektiven Homomorphismus ψ:q * (). Es ist Φ * (𝒪 X ' (1)). Insbesondere entsprechen die S-Schnitte von ()1-1 den q.k. 𝒪 S -Untermoduln von mit / invertierbar. Dies führt zu folgenden Definitionen von aus der klassischen algebraischen Geometrie bekannten Begriffen jetzt in der allgemeinen Theorie der Schemata: Es sei Y@>q>>S wie oben ein S-Präschema. Ein invertierbarer 𝒪 Y -Modul heißt streng vollständig (très ample) bezüglich q oder bezüglich S, wenn ein q.k. 𝒪 S -Modul , und eine S-Einbettung Φ:Y()=X ' existiert, so daß Φ * (𝒪 X ' (1)) ist. Y ist also dann vermöge Φ ein S-Unterschema von (). Ist q quasikompakt, das heißt ist das Urbild jeder offenen quasikompakten Menge in S quasikompakt in Y, so ist genau dann streng vollständig bezüglich q, wenn q * () q.k., der kanonische Homomorphismus q * (q * ()) surjektiv und der zugehörige Morphismus Φ:Y(q * ()) eine Einbettung ist. Ist S Noethersch und q von endlichem Typ, so existiert ein kohärenter 𝒪 S -Modul mit den obigen Eigenschaften bezüglich .

X sei ein quasikompaktes Schema, ein invertierbarer 𝒪 X -Modul. Man kann X als Z-Schema auffassen: X@>p>>Spec(). Mit B= n0 Γ(X, n ) hat man einen kanonischen Homomorphismus der graduierten 𝒪 X -Algebren φ:p * (B ˜) n0 n · heißt vollständig, wenn für den zugehörigen Morphismus Φ:XG(φ)Proj(B) gilt: G(φ)=X und Φ ist eine offene und dichte Einbettung von X in Proj(B). Bezeichnet man die Garbe n mit (n), so ist dies äquivalent zu (i) Ist q.k. und endlich erzeugter 𝒪 X -Modul (de type fini), so wird (n) für alle nn 0 >0 durch seine Schnitte über X erzeugt, und zu (ii) Ist q.k. und endlich erzeugter 𝒪 X -Modul, so existieren n>0, k>0, so daß Quotient des 𝒪 X -Moduls (-n) 𝒪 X k ist.

Ist S affin, q:XS separiert und quasi-kompakt, ein invertierbarer 𝒪 X -Modul, dann sind äquivalent (i) ist vollständig; (ii) Es existiert ein n 0 >0, so daß für nn 0 n streng vollständig bezüglich q ist; (iii) Es existiert ein n>0, so daß n streng vollständig bezüglich q ist.

Ist f:XS quasikompakt, ein invertierbarer 𝒪 X -Modul und = n0 f * ( n ), dann sind äquivalent (i) Es existiert eine Überdeckung S= α U α durch offne affine U α , so daß | X α über X α =f ¯ 1 (U α ) vollstn̎dig ist; (ii) ist q.k. und für den dem kanonischen Homomorphismus φ:f * () n0 n entsprechenden S-Morphismus Φ:XG(φ)Proj()=P gilt: G(φ)=X, und Φ ist eine offene und dichte Einbettung von X in P. heißt dann relativ vollständig bezüglich f, kurz f-vollständig oder S-vollständig. Ist S affin, so ist S-vollständig genau dann, wenn vollständig ist.

Ist X ein quasikompaktes Schema und f ein separierter, quasikompakter Morphismus f:XS, so sind äquivalent (i) ist f vollständig; (ii) Für jeden q.k. endlich erzeugten 𝒪 X -Modul existiert ein n 0 >0, so daß für nn 0 der kanonische Homomorphismus f * (f * ( n )) n surjektiv ist; (iii) Für jedes q.k. endlich erzeugte 𝒪 X -Ideal 𝒥 existiert ein n>0, so daß der kanonische Homomorphismus f * (f * (𝒥 n ))𝒥 n surjektiv ist.

Ist S quasikompakt, f:XS von endlichem Typ, dann sind äquivalent (i) ist f-vollständig; (ii) Es existiert ein n 0 >0, so daß für alle nn 0 n streng vollständig bezüglich f ist; (iii) Es existiert ein n>0, so daß n streng vollständig bezüglich f ist.

Ist S ein quasikompaktes Präschema, eine q.k. endlich erzeugte 𝒪 S -Algebra, X=Proj() und f:XS der kanonische Morphismus, dann ist f von endlichem Typ und es existiert ein d>0, so daß 𝒪 X (d) invertierbar und f-vollständig ist. – §5 enthält das wichtige Serresche Kriterium: Ist X ein quasikompaktes Schema oder ein Präschema mit Noetherschem unterliegendem Raum, so ist X genau dann affin, wenn der Funktor Γ(X,) auf der Kategorie der q.k. 𝒪 X -Moduln exakt ist.

Ebenso ist der separierte quasikompakte Morphismus f:XY genau dann affin, wenn f * exakt auf der Kategorie der q.k. 𝒪 X -Moduln ist. Ein Morphismus f:XY heißt quasiprojektiv kurz q.p. oder X ist q.p. über Y, wenn f von endlichem Typ ist, und wenn ein f-vollständiger 𝒪 X -Modul existiert. Für ein quasikompaktes Y ist dies äquivalent mit der Existenz eines q.k. endlich erzeugten 𝒪 Y -Moduls , so daß X Y-isomorph einem Unterpräschema von () ist. Existiert ein vollständiger 𝒪 Y -Modul , so kann sogar =𝒪 Y n gewählt werden.

Ein Morphismus f:XY heißt eigentlich (propre), wenn f separiert und von endlichem Typ ist und wenn für jedes Präschema Y ' über Y die Projektion X× YY ' Y ' ein abgeschlossener Morphismus ist (das heißt das Bild einer abgeschlossenen Menge wieder abgeschlossen ist).

Ein Morphismus XY heißt projektiv, wenn X Y-isomorph einem abgeschlossenen Unterpräschema eines projektiven Faserbündels () zu einem endlich erzeugten q.k. 𝒪 Y -Modul ist. – Ist Y ein quasikompaktes Schema, so ist X@>f>>Y projektiv genau dann, wenn es quasiprojektiv und eigentlich ist.

Schließlich wird das Chowsche Lemma in folgender Form bewiesen: S sei Noethersch oder es sei S ein quasikompaktes Schema und X habe nur endlich viele irreduzible Komponenten, XS sei von endlichem Typ. Dann existiert ein q.p. S-Schema X ' und ein projektiver und surjektiver S-Morphismus f:X ' X und ein offenes UX mit U ' =f ¯ 1 (U) dicht in X ' und f| U ' :U ' U ein Isomorphismus XS ist genau dann eigentlich, wenn X ' S sogar projektiv ist, und U kann dann sogar dicht in X gewählt werden. Ein affiner Morphismus f:XS heißt ganz bzw. endlich, wenn es eine Überdeckung S= α S α durch offene affine S α zu Ringen A α gibt, so daß die f ¯ 1 (S α ) affin zu Ringen B α sind, die ganz bzw. endliche Moduln über A α sind. Ist XS ganz und von endlichem Typ, so ist XS endlich. Ein endlicher Morphismus ist projektiv.

Es werden quasiendliche Morphismen sowie die ganze Abschließung eines Präschemas definiert.

Für endliche Morphismen X ' X und invertierbare 𝒪 X ' -Moduln wird N X ' |X (), ein invertierbarer 𝒪 X -Modul, definiert, und damit werden Kriterien für relative Vollständigkeit von gewonnen. Ferner wird der folgende Satz von Chevalley bewiesen. Ist X ein affines Schema und Y ein Noethersches Präschema, f:XY ein endlicher und surjektiver Morphismus, so ist Y affin.

In §7 werden bewertungstheoretische Kriterien für die Eigenschaften eines Morphismus, separiert bzw. eigentlich zu sein, angegeben, die den bekannten Kriterien im Funktionenkörper im Falle irreduzibler algebraischer Varietäten entsprechen. Der Fall der algebraischen Kurven wird eingeordnet. – In §8 schließlich wird der Prozeß des Aufblasens, der sich mit den zuvor definierten Begriffen besonders einfach formulieren läßt, behandelt: Ist Y ein Präschema (bzw. ein lokal integeres Präschema, das heißt lokal irreduzibel und reduziert) und 𝒥 ein q.k. Ideal 𝒪 Y (bzw. ein “gebrochenes” q.k. Ideal (Y), der Garbe der Keime rationaler Funktionen auf Y), dann ist das Y-Schema X=Proj( n0 𝒥 n ) das durch Aufblasen von J aus Y erhaltene Präschema. Schließlich wird der projizierende Kegel und die projektive Abschließung in der Sprache der Schemata behandelt und das folgende Kriterium von Grauert für Vollständigkeit bewiesen: Y sei ein Präschema, p:XY ein separierter quasikompakter Morphismus, ein invertierbarer 𝒪 X -Modul. ist genau dann p vollständig, wenn ein Y-Präschema C und ein Y-Schnitt ε:YC von C existiert, sowie ein Y Morphismus q:𝐕()C, so daß

X j𝐕()ppqqY εC,(i)

wo j der Nullschnitt des Geradenbündels 𝐕() ist, kommutativ ist, und (ii) die Einschränkung von q auf 𝐕()-j(X) eine offene quasikompakte Einbettung 𝐕()-j(X)C ist, deren Bild ε(Y) nicht trifft.

Dem ersten Teil des 3. Kapitels vorangestellt sind wieder fünf Paragraphen des Kapitels 0. Einer derselben befaßt sich zunächst mit repräsentierbaren Funktoren. Ist 𝐂 irgendeine Kategorie und 𝐄 die Kategorie der Mengen, so wird für ein festes Objekt X𝐂 durch Yh X (Y)=Hom 𝐂 (Y,X) ein Kontrafunktor von 𝐂 in 𝐄 definiert. Man erhält so, wenn X die Kategorie 𝐂 durchläuft einen Funktor h:𝐂𝐇𝐨𝐦(𝐂 0 ,𝐄) von 𝐂 in die Kategorie der Kontrafunktoren von 𝐂 in 𝐄. Ist F irgendein Kontrafunktor 𝐇𝐨𝐦(𝐂 0 ,𝐄), so hat man eine natürliche Bijektion von Hom(h X ,F) in F(X). Für F=h X , erhält man so: Der Funktor h:𝐂𝐇𝐨𝐦(𝐂 0 ,𝐄) ist vollkommen treu (pleinement fidèle), d.h. die kanonische Abbildung Hom(X,X ' )Hom(h X ,h X ' ) ist eine Bijektion, und definiert eine Äquivalenz von 𝐂 mit der vollen Unterkategorie der Funktoren der Form h X , X𝐂. Diese Kontrafunktoren heißen repräsentierbare Kontrafunktoren.

Eine innere Verknüpfung (loi de composition interne) auf X wird nun definiert durch einen Morphismus von Funktoren γ X :h X ×h X h X . Dabei ist für alle Y𝐂 (h X ×h X )(Y)=h X (Y)×h X (Y), wo das rechte × das übliche kartesische Produkt in 𝐄 bezeichnet. Für jedes Y𝐂 ist demnach γ X (Y) eine Abbildung γ X (Y):h X (Y)×h X (Y)h X (Y), also eine innere Verknüpfung in h X (Y), so daß für jeden Morphismus u:YY ' in 𝐂

h X (Y ' )×h X (Y ' ) h X (u)×h X (u)h X (Y)×h X (Y)γ X (Y ' )γ X (Y ' )γ X (Y)γ X (Y)h X (Y ' ) xxxh X (u)xxxh X (Y)

kommutativ, d.h. h X (u) ein Homomorphismus von h X (Y ' ) in h X (Y) ist. Wenn γ X so beschaffen ist, daß γ X (Y) für alle Y𝐂 eine Gruppe auf h X (Y) definiert, so heißt X mit γ X eine 𝐂-Gruppe oder eine Gruppe in 𝐂. Analog definiert man 𝐂-Ringe usw. Existiert in 𝐂 das Produkt X×X, dann ist h X×X ×h X ×h X und der funktorielle Morphismus γ X definiert eindeutig einen Morphismus c X Hom 𝐂 (X×X,X), und eine innere Verknüpfung auf X wird daher auch gegeben durch einen Morphismus c X :X×X.

Ein weiterer Paragraph bringt allgemeines über die von C. Chevalley eingeführten konstruierbaren Mengen, insbesondere in Noetherschen Räumen. Konstruierbare Mengen sind im Falle der klassischen algebraischen Geometrie die endlichen Durchschnitte von in der Zariski-Topologie abgeschlossenen und offenen Teilmengen. Schließlich bringt ein Paragraph weitere Eigenschaften flacher Moduln (modules plats) und Erweiterungen, bezüglich deren Beweis auf Bourbaki, Éléments de mathématique. Fasc. XXVIII: Algèbre commutative. Chap. III., IV. (Paris 1961) verwiesen wird, und ein Paragraph Ergänzungen hauptsächlich zu des Verf. Tôhoku-Arbeit [Tohoku Math. J., II. Ser. 9, 119–221 (1957; Zbl 0118.26104)] über spektrale Folgen, Hypercohomologie eines Funktors bezüglich eines Komplexes, Übergang zu induktiven Limites in der Hypercohomolagie und anderes. Ferner werden Ergänzungen zur Garbencohomologie, die höheren direkten Bilder, das sind die rechts abgeleiteten Funktoren des linksexakten Funktors “direktes Bild” und die lokalen Ext-Funktoren sowie die Hypercohomologie des Funktors “direktes Bild” behandelt. Schließlich ist ein Paragraph noch den projektiven Limites gewidmet, insbesondere wird untersucht, wann der Funktor lim exakt ist (Bedingung von Mittag-Leffler).

Von dem eigentlichen 3. Kapitel, von dem in einer Übersicht die Titel von 11 Paragraphen angegeben werden, enthält dieser 1. Teil die Paragraphen 1–5. Inzwischen ist ein zweiter Teil mit den Paragraphen 6 und 7 erschienen. Von den weiteren Paragraphen liegt zur Zeit z.B. schon teilweise §9, Relative und lokale Cohomologie, lokale Dualität, als Seminarausarbeitung des Séminaire de Géométrie algébrique 1962 am Inst. Haut. Étud. Sci. in einer vorläufigen Form vor [SGA 2, Sém. Géom. Alg. (1962; Zbl 0159.50402)]. Die ersten 5 Paragraphen des ersten Teils enthalten in den Paragraphen 1 und 2 die Serreschen Resultate aus FAC über die Cohomologie affiner und projektiver Varietäten in dem allgemeinen Rahmen der Schemata sowie in den folgenden 3 Paragraphen des Verf. Erweiterung des Endlichkeitssatzes auf eigentliche Morphismen und auf formelle Schemata sowie die fundamentalen Sätze über die Beziehungen zwischen gewöhnlicher und formeller Cohomologie zusammen mit einem Existenzsatz, die z.B. einen natürlichen Beweis des Zariskischen Zusammenhangssatzes liefern.

Im Einzelnen beginnt §1 mit einigen Eigenschaften des Koszul-Komplexes (complexe de l’algèbre extérieure) des Ringes A zu einem Elementsystem 𝐟=(f 1 ,,f r ), der hier mit K (𝐟) bezeichnet wird. Für ein zweites Elementsystem 𝐠=(g 1 ,,g r ) definiert man 𝐟𝐠=(f 1 g 1 ,f 2 g 2 ,,f r g r ) und hat einen kanonischen Homomorphismus φ g :K (fg)K (f). Für einen A-Modul M sei K (𝐟,M)=K (𝐟)× AM, K (𝐟,M)=Hom A (K (𝐟),M) und H (𝐟,M)=H (K (𝐟,M)) die Homologie bzw. H (𝐟,M)=H (K (𝐟,M)) die Cohomologie der Komplexe. Ist das Ideal (𝐟)=A, dann sind die Komplexe K (𝐟) und K (𝐟) homotop trivial, also ist H (𝐟,M)=H (𝐟,M)=0. Die Bedeutung des Koszul-Komplexes für die Cohomologie liegt in folgender Tatsache: Ist X ein Präschema mit Noetherschem unterliegendem Raum oder ein quasikompaktes Schema, ein q.k. (d.h. quasikohärenter) 𝒪 X -Modul, A=Γ(X,𝒪 X ), M=Γ(X,), 𝐟=(f 1 ,,f r ) ein System von Elementen aus A, U i =X fi die offene Menge der xX mit f i (x)0, U= i=1 r U i , 𝔘 die Überdeckung (U i ) 1ir von U, so hat man einen kanonischen Isomorphismus der Gruppe der alternierenden Čechschen p-Koketten zur Überdeckung 𝔘 mit Koeffizienten in

C p (𝔘,) C p+1 ( 𝐟 ) , M= deflim n K p+1 (𝐟 n ,M),

wo rechts der induktive Limes des Systems von (p+1)-Bestandteilen der KoszulKomplexe K (𝐟 n ,M) zu den Elementsystemen (𝐟 n ) mit den Homomorphismen φ 𝐟 m-n :K (𝐟 n ,M)K (𝐟 m ,M) für 0nm steht. Dieser Isomorphismus ist mit Korandbildung verträglich. Somit hat man, wenn

C ( 𝐟 ) , M= deflim n K (𝐟 n ,M)undH q ( 𝐟 ) , M= defH q C (𝐟) , M=lim n H q (𝐟 n ,M)

kanonische Isomorphismen der Čechschen Cohomologiegruppen zur Überdeckung 𝔘 mit Koeffizienten in , H p (𝔘,) H p+l ((𝐟),M) für p1 und eine kanonische exakte Folge

0H 0 ( 𝐟 ) , MMH 0 (𝔘,)H 1 ( 𝐟 ) , M0·

Ist nun insbesondere X ein affines Schema, so hat man beliebig feine endliche Überdeckungen von X durch Mengen X fi =D(f i ), f i A, und das von einem zugehörigen Elementsystem erzeugte Ideal (f i ) 1ir =A. Übergang zum Limes liefert für die Čechsche Cohomologie [vgl. R. Godement, Topologie algébrique et théorie des faisceaux. Paris: Hermann & Cie. (1958; Zbl 0080.16201)] H ˇ p (X,)=0 und ebenso für jedes X f H p (X f ,)=0 für p>0. Dann ist aber auch die Garbencohomologie H p (X,)=0 für p>0. Als Corollar ergibt sich. Ist f:XY affin, ein q.k. 𝒪 X -Modul, so ist R q f * ()=0 für q>0 und man hat kanonische Isomorphismen H p (Y,f * ()) H p (X,) für jedes p.

Für ein beliebiges Schema X und eine Überdeckung 𝔘=(U α ) von X durch offene affine Mengen U α und jeden q.k. 𝒪 X -Modul hat man daher nach Leray H (X,)H (𝔘,).– §2 enthält die Cohomologietheorie projektiver Morphismen. Analog zu obigem Ergebnis über die Čech Cohomologie zu einer bestimmten Überdeckung 𝔘=(U i ) 1ir von U= i U i mit Koeffizienten in einem q.k. 𝒪 X -Modul erhält man unter denselben Voraussetzungen über X für einen invertierbaren 𝒪 X -Modul mit S=Γ * (X,)= def n𝐙 Γ(X, n ),

M=Γ * (,)= def n𝐙 Γ(X, n )

und ein System (𝐟)=(f 1 ,,f r ) von homogenen Elementen aus S mit analog definierten U i =X fi , für die graduierten S-Moduln

H p 𝔘 , ( * )= def n𝐙 H p 𝔘 , ( n ) H p+1 ( 𝐟 ) , Mfürp1und
0H 0 ( 𝐟 ) , MMH 0 𝔘 , ( * )H 1 ( 𝐟 ) , M0

exakt. Ist X ein quasikompaktes Schema und sind die U i =X fi affin, so ist nach Leray H p (𝔘,(*))H p (U,(*)). Man hat damit also eine Möglichkeit gewonnen, H p (U,(*)) zu berechnen. Analog gilt für einen positiv graduierten Ring S, einen graduierten S-Modul M und homogene Elemente f i (1ir)S + , wenn X=Proj(S), U i =D + (f i ), U= i U i , M(n) ˜ den zu dem S-Modul M(n) gehörigen q.k. O X -Modul bezeichnet: H p (U,M(*) ˜) H p+1 ((𝐟),M) und

0H 0 ( 𝐟 ) , MMH 0 U , M(*) ˜H 1 ( 𝐟 ) , M0

ist exakt. Dies erlaubt im Falle S=A[T 0 ,,T r ], (𝐟)=(T 0 ,,T r ) die explizite Berechnung der H i (X,𝒪 X (*)) für X=Proj(S). Damit ist man nun in der Lage, das Fundamentaltheorem von Serre für projektive Morphismen durch Reduktion auf den Fall X=Proj(S), S=A[T 0 ,,T r ], und in diesem Fall durch absteigende Induktion nach q zu beweisen: Ist Y ein Noethersches Präschema, f:XY ein eigentlicher Morphismus, ein invertierbarer bezüglich f vollständiger 𝒪 X -Modul, dann gilt für jeden kohärenten 𝒪 X -Modul mit (n)=× 𝒪 Y n . (i) Die R q f * () sind kohärente 𝒪 Y -Moduln. (ii) Es existiert ein n 0 , so daß für nn 0 R q f * ((n))=0 für alle q>0. (iii) Es existiert ein n 0 , so daß für nn 0 der kanonische Homomorphismus f * (f * ((n)))(n) surjektiv ist. Umgekehrt folgt für einen beliebigen invertierbaren 𝒪 X -Modul aus (ii) die Vollständigkeit von bezüglich f. Als Anwendung ergibt sich zunächst wie bei Serre für ein Noethersches Präschema Y, eine positiv graduierte q.k. endlich erzeugte 𝒪 Y -Algebra und X=Proj() eine Äquivalenz zwischen der Kategorie der kohärenten 𝒪 X -Moduln und einer Quotientenkategorie einer Unterkategorie der Kategorie der q.k. graduierten -Moduln über Y. (Bem. des Ref.: Eine entsprechende Äquivalenz erhält man für die Kategorie der q.k. 𝒪 X -Moduln.) Ferner erhält man folgenden Satz: Ist Y ein Noethersches, integeres Präschema, X integer und f:XY ein projektiver birationaler Morphismus; dann existiert ein kohärentes gebrochenes Ideal 𝒥(Y), (Y) die Garbe der Keime rationaler Funktionen, auf Y, so daß X Y-isomorph ist dem durch Aufblasen von 𝒥 aus Y erhaltenen Präschema. Insbesondere gilt: Sind X und Y zwei integere über k projektive Schemata und ist f:XY ein birationaler k Morphismus, dann ist X k-isomorph zu einem Y-Schema, das durch Aufblasen eines abgeschlossenen (nicht notwendig reduzierten) Unterschemas Y ' von Y aus Y entstanden ist.

§3 enthält den Endlichkeitssatz für eigentliche Morphismen: Ist Y ein lokal Noethersches Präschema, f:XY ein eigentlicher Morphismus, dann sind für jeden kohärenten 𝒪 X -Modul die höheren Bilder R q f * () kohärente 𝒪 Y -Moduln für q0. Der Beweis verwendet das “Lemma de dévissage”. X sei ein Noethersches Präschema, 𝐊 die abelsche Kategorie der kohärenten 𝒪 X -Moduln, 𝐊 ' eine exakte Untermenge von 𝐊 (d.h. 0𝐊 ' und 0A ' AA '' 0 exakt in 𝐊, zwei der A ' ,A,A '' 𝐊 ' , so folgt auch das dritte 𝐊 ' ), X ' eine abgeschlossene Teilmenge des Raumes X. Existiert nun für jede abgeschlossene irreduzible Teilmenge Y von X ' mit allgemeinem Punkt y ein 𝒪 X -Modul 𝒢𝐊 ' , so daß die Faser 𝒢 y ein k(y) Vektorraum der Dimension 1 ist, so enthält K ' jeden kohärenten 𝒪 X -Modul mit Träger in X ' .

Ein entsprechender Endlichkeitssatz wird für formelle Schemata bewiesen.

§4 schließlich bringt die fundamentalen Tatsachen über Vertauschbarkeit von direktem Bild und Komplettierung bei eigentlichen Morphismen: X,Y seien Noethersche Präschemata, f:XY ein eigentlicher Morphismus, Y ' Y abgeschlossen und X ' =f ¯ 1 (Y ' )X, X ^ bzw. Y ^ die durch Komplettierung von X bzw. Y längs X ' bzw. Y ' erhaltenen formellen Präschemata, f ^:X ^Y ^ die Komplettierung von f, F ein kohärenter 𝒪 X -Modul und F ^ seine Komplettierung im Sinne von Kap. I, ein kohärenter 𝒪 X ^ -Modul, 𝒥 ein q.k. Ideal 𝒪 Y mit Träger (𝒪 Y /𝒥)=Y ' . Bezeichnet man für k>0 die kohärenten 𝒪 X -Moduln 𝒪 Y (𝒪 Y /𝒥 k+1 ) mit k , so hat man ein kommutatives Diagramm von kanonischen topologischen Isomorphismen

(R n f * ()) R n f ^ * ( ^)lim k R n f * ( k )

und R n f ^ * ( ^) ist ein kohärenter 𝒪 X ^ -Modul.

Als Folgerung erhält man: Ist Y lokal Noethersch, f:XY eigentlich und F kohärenter 𝒪 X -Modul, dann ist für yY die Faser (R n f * ()) y ein endlich erzeugter 𝒪 y -Modul, also separiert in der m y -adischen Topologie und man hat einen kanonischen topologischen Isomorphismus

R n f * () y lim k H n f ¯ 1 (y) , 𝒪 Y (𝒪 y /m y k )·

Für n=0 erhält man so den Zusammenhangssatz von Zariski: Ist Y ein lokal Noethersches Präschema, f:XY eigentlich, so ist f * (𝒪 X ) eine kohärente 𝒪 Y -Algebra. Y ' sei daszu dieser gehörige über Y endliche affine Y-Schema, also mit f * (𝒪 Y ' )=f * (𝒪 X ). Dann hat man (vgl. Kap. II) eine kanonische Faktorisierung von f in X@>f ' >>Y ' Y (Steinsche Faktorisierung). f ' ist eigentlich, f * ' (𝒪 X )𝒪 Y , und die Faser f ' ¯ 1 (y) von f ' sind zusammenhängend und nicht leer für alle y ' Y ' . Daraus ergeben sich mannigfache Folgerungen unter anderem Zariskis “main theorem”.

Ein Existenztheorem in §5 vervollständigt diese Theorie: A sei ein adischer Noetherscher Ring, J ein Definitionsideal in A, Y=Spec(A), Y ' die durch J definierte abgeschlossene Teilmenge von Y, f:XY ein separierter Morphismus endlichen Typs und X ' =f ¯ 1 (Y ' ). Bezeichnen X ^ bzw. Y ^ und f ^:X ^Y ^ die Komplettierungen von X bzw. Y längs X ' bzw. Y ' und von f, so definiert der Funktor FF ^ eine Äquivalenz zwischen der Kategorie der kohärenten 𝒪 X -Moduln mit eigentlichem Träger auf Spec(A) und der Kategorie der kohärenten 𝒪 X ^ -Moduln mit eigenlichem Träger auf Spf(A).

Ist f eigentlich, so gilt der obige Satz ohne die beiden Einschränkungen “mit eigentlichem Träger”.


MSC:
14-02Research monographs (algebraic geometry)
14AxxFoundations of algebraic geometry
14FxxHomology and cohomology theory (algebraic geometry)
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