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Algebraic geometry. (English) Zbl 0367.14001
Graduate Texts in Mathematics. 52. New York-Heidelberg-Berlin: Springer-Verlag. XVI, 496 p. DM 53.30; $ 26.65 (1977).

Das vorliegende Buch von R. Hartshorne ist eine Einführung in die algebraische Geometrie auf der Grundlage der schematheoretischen Methode, wie sie in den “Élements de géometrie algébrique” (=EGA) von A. Grothendieck und J. Dieudonné erstmalig und weitreichend dargestellt wurde. Großen Wert legt der Autor jedoch auch auf die Darstellung der historischen Wurzeln der algebraischen Geometrie und der verschiedenen klassischen Konzepte, die mit den Namen Riemann, N. Noether, Kronecker, Weber, Dedekind, Cestelnuovo, Enriques, Severi, Weil, Zariski und Chow verbunden sind. Dabei erreicht er sein Ziel, neben den zahlentheoretischen, analytischen, topologischen und kommutativ-algebraischen Wurzeln der algebraischen Geometrie und der Darstellung der “konkreten” Geometrie algebraischer Varietäten im affinen und projektiven Raum, die fruchtbaren und weitreichenden schematheoretischen und kohomologischen Techniken zu entwickeln, in logisch und methodisch hervorragender Weise.

So beginnt die Darstellung mit einem Kapitel “Varietäten”, in welchem mit einem minimalen Aufwand an Technik, dafür aber an Hand zahlreicher Beispiele Varietäten im affinen und projektiven Raum behandelt werden. Die wichtigsten Grundbegriffe, wie Dimension, reguläre Funktionen, rationale Abbildungen, Singularitätenfreiheit und der Grad einer projektiven Varietät werden erläutert, wobei der Leser gehalten ist, sich die relevante kommutative Algebra an Hand detaillierter Hinweise auf die diesbezüglichen Standardwerke nebenbei anzueignen. Dies, die geschickt gewählten Beispiele und ergänzenden Übungsaufgaben, die vom Leser übrigens viel Arbeit und Eigenständigkeit verlangen, bilden eine gründliche Motivierung und Vorbereitung auf die folgenden Kapitel. Zum Beispiel kann sich der Leser auf der Grundlage des ersten Kapitels das Wesentliche über den Kegel über einer projektiven Varietät, über Segre-Einbettungen, d-fache Einbettungen, Quadriken und vollstẗandige Durchschnitte im 3 , ebene Cremona-Transformationen, Vielfachheiten und Schnittvielfachheiten ebener Kurven, Aufblasungen von Kurvensingularitäten u.a. gut selbst erarbeiten (Übungsaufgaben). Den Schluß des ersten Kapitels bildet ein Abschnitt “Was ist algebraische Geometrie?”, in welchem das Problem der Klassifizierung algebraischer Varietäten als weitere Motivierung und grundlegende “Philosophie” illustriert wird.

Im zweiten Kapitel, betitelt “Schemata”, werden ä la EGA die Garbentheorie, Definition und Eigenschaften der Schemata und Morphismen, bewertungstheoretische Kriterien, Modulgarben über Schemata, insbesondere die Grundkonstruktionen über projektiven Schemata, sowie kohärente Modulgarben behandelt. Die hier vermittelten grundlegenden Begriffe und Techniken kann der Leser wiederum in einer Vielzahl von Übungsaufgaben, die in ihrer Gesamtheit nahezu die komplementäre Theorie überdecken, erproben und aktiv weiterentwickeln. Im zweiten Teil dieses Kapitels wird an Hand der Theorie der Weil-Divisoren und der umkehrbaren Garben nebst Cartier-Divisoren der Zusammenhang zwischen der klassischen und der Schema-Sprache herausgearbeitet. Weiterhin werden projektive Morphismen und damit zusammenhängende Begriffe wie Ampleness, lineare Systeme und Aufblasungen entwickelt, wobei in Beispielen und Übungen den Kurven besondere Aufmerksamkeit gewidmet wird. Schließlich wird die algebraische Theorie der Kähler-Differentiale zur Charakterisierung der Singularitätenfreiheit und zur Konstruktion numerischer Invarianten (geometrisches Geschlecht, Hodge-Zahlen) herangezogen, und es wird im abschließenden Abschnitt der Begriff des formalen Schemas motiviert und behandelt.

Der technische Apparat wird in dritten Kapitel, “Kohomologie”, weiter ausgebaut. Hier werden nach kurzer Zusammenstellung der abstrakten kategorien-theoretischen Konstruktionen und Begriffe (abgeleitete Funktoren usw.) die Kohomologiefunktoren eingeführt und danach die Kohomologie noetherscher affiner Schemata, die Čech-Kohomologie, und die Kohomologie projektiver Räume behandelt. Die Übungsaufgaben zur Anwendung beziehen sich auf weitere Invariantan, wie Euler-Charakteristik, Hilbert-Polynom und das arithmetische Geschlecht projektiver Schemata über einem Körper.

Ein weiterer Abschnitt ist der Dualitätstheorie und dem Beweis des Serre’schen Dualitätssatzes gewidmet, wobei nicht volle Allgemeinheit [etwa im Sinne von des Autors Buch “Residues and duality”, R. Hartshorne [Lect. Notes Math. 20, 212–261 (1966; Zbl 0212.26101)] angestrebt wird, sondern im wesentlichen Grothendieck’s Version aus SGA 2 gebracht wird. – Der Rest dieses Kapitels ist dann auf das Studium von Familien von Schemata ausgerichtet. Mit Hilfe der höheren direkten Bilder von Garben bzgl. flacher und glatter Morphismen werden die relative Kohomologie und die Kohomologie längs der Fasern eingeführt, wobei auf die inhärente geometrische Intuition großer Wert gelegt wird. Die Beispiele und Aufgaben geben wieder Ausblicke auf weitere Gebiete dieses Problemkreises, wie z.B. Projektionen, Familien von Divisoren, Deformationen, Starrheit, Etalmorphismen, und Cohen-Macaulay-Eigenschaften. Als wichtige Anwendung wird der Satz über normale funktionen, der u.a. Zariski’s Hauptsatz und Stein’s Faktorisierungssatz impliziert, bewiesen. Der letzte Abschnitt ist dem Verhalten der Kohomologie in den Fasern bei Basiswechsel gewidmet.

Die folgenden Kapitel beschäftigen sich dann mit der Anwendung der bereitgestellten Technik auf klassische konkrete Probleme. So ist Kapitel IV der Geometrie singularitätenfreier projektiver Kurvan und Kapital V den algebraischen Flächen gewidmet. Kapital IV gibt zunächst einen kohomologischen, auf Sarre’s Dualitätssatz basierenden Beweis des Satzes von Riemann-Roch. Anschließend werden die Beschreibungen einer algebraischen Kurve als verzweigte Überlagerungen des 1 (nebst Hurwitz’scher Geschlechterformel) und als eingebettete Kurve im 3 gegeben, ebenso die Möglichkeit der Darstellung als singuläre ebene Kurve bis auf birationale Äquivalenz. Die Übungen befassen sich ausführlich mit der Darstellung der Kurven von Geschlecht 2 in der Rosenhain’schen Normalform und mit Eigenschaften ebener Kurven. Sehr gründlich werden elliptische Kurven und ihre Arithmetik behandelt. Nach den kanonisch eingebetteten Kurven und einem Beweis des Satzes von Clifford wird ein schöner Ausblick auf die Theorie der Modulräume algebraischer Kurven gegeben. Der letzte Abschnitt beschäftigt sich mit der Klassifizierung algebraischer Raumkurvan nach Noether-Halphen-Castelnuovo.

Kapitel V befaßt sich zuächst mit Divisoren auf Flächen (Adjunktionsformel, Riemann-Roch, Hodge’s Indexsatz, Nakai’s Kriterium für die Ampleness), danach recht speziell und ausführlich mit den algebraischen Regelflächen. Es folgt ein Abschnitt über monoidale Transformationen, der neben den wesentlichen Eigenschaften dieser die Singularitätenauflösung von Kurven auf Flächen bringt, außerdem einen Beitrag zur Klassifizierung von Kurvensingularitäten. Anschließend wird die kubische Fläche im 3 als Aufblasung der projektiven Ebene in 6 Punkten beschrieben and der Satz über die 27 Geraden bewiesen. Die Darstellung birationaler Transformationen von Flächen als Produkt von monoidalen Transformationen und ihren Inversen, die birationale Invarianz des arithmetischen Geschlechtes und die Existenz minimaler Modelle beschließen das Kapitel, welches somit eine gute Vorbereitung auf das Studium der weitergehenden Arbeiten zur Klassifikation algebraischer Flächen (Shafarevich et al., Bombieri-Mumford und Bombieri-Husemoller) ist.

Als Brücke zwischen dem vorliegenden Lehrtext und der neueren Literatur hat der Autor drei Anhänge beigefügt. Anhang A ist der verallgemeinerten Schnittheorie algebraischer Zyklen (Chow-Ring), der algebraischen Konstruktion Chernscher Klassen und einem Ausblick auf den Satz von Riemann-Roch-Hirzebruch-Grothendieck gewidmet. Anhang B deutet den Zusammenhang zwischen komplex-analytischen und algebraischen Mannigfaltigkeiten (GAGA, Theorem von Chow, Sätze über die Algabraizität von Kodaira und Moishezon), während Anhang C die Weilschen Vermutungen, ihre Interpretation in der -adischen Kohomologie und die jüngsten Beweise anführt. In den Anhängen werden – verständlicherweise – keine Beweise ausgeführt, dafür sind aber Literaturhinweise und historische Anmerkungen sehr zahlreich und genau. Auch hier geben die Übungsaufgaben, sofern sie mit Hilfe der Zusatzliteratur erledigt werden, dem Leser ein umfangreiches Bild und die nötigen eigenen Fertigkeiten, aktiv algebraische Geometrie betreiben zu können.

Ein breites Literaturverzeichnis, eine Liste der benutzten Resultate aus der kommutativen Algebra, ein sorgfältiges Glossar der Bezeichnungen und ein ausführliches Sachwort- und Namensverzeichnis erleichtern die Arbeit mit dem Buch. Dieses Buch ist in seiner Anlage als Synthese von “klassischer” und “moderner” algebraischer Geometrie sowie in der Klarheit seiner Darstellung und seiner methodischen Meisterschaft ein überaus gelungenes Werk, für das der Lernende wie auch der Lernende dem Autor nur danken und ihn beglückwünschen kann.


MSC:
14AxxFoundations of algebraic geometry
14FxxHomology and cohomology theory (algebraic geometry)
14HxxAlgebraic curves
14JxxSurfaces and higher-dimensional varieties
14ExxBirational geometry
14NxxProjective and enumerative algebraic geometry
14-02Research monographs (algebraic geometry)