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Cyclotomic fields. I and II. With an appendix by Karl Rubin: The main conjecture. Combined 2nd edition. (English) Zbl 0704.11038
Graduate Texts in Mathematics, 121. New York etc.: Springer-Verlag. xvii, 433 p. DM 98.00 (1990).

[For the reviews of Parts I, II (1978, 1980) see Zbl 0395.12005; Zbl 0435.12001.]

Dans cet appendice, K. Rubin présente la démonstration de la “conjecture principale” d’après la méthode de Kolyvagin. Soit p un nombre premier impair. Considérons (μ p ) le corps cyclotomique des racines p-ièmes de l’unité, E son groupe d’unité, le sous-groupe des unités cyclotomiques et C la p-partie du groupe des classes de F. La conjecture de G. Gras [Ann. Inst. Fourier 27, No.1, 1-66 (1977; Zbl 0336.12004)] compare C à la p-partie (E/) p de (E/) en tenant compte de l’action du groupe de Galois G=Gal(F/); les caractères de G sont définis sur p et permettent de décomposer les groupes ci-dessus en composantes, C(χ) et (E/)(χ) correspondant à χ. La méthode de Kolyvagin prouve que l’ordre de C(χ) divise celui de (E/)(χ); on déduit l’égalité en comparant à la formule du nombre de classes.

La clef de la méthode est de démontrer des relations dans C au moyen d’unités cyclotomiques “descendues”. En effet des unités cyclotomiques de F(μ N ) peuvent se descendre en des éléments de F * /F *M (M entier assez gros). La factorisation de ces éléments (qui ne proviennent plus d’unités de F encore moins d’unités cyclotomiques!!) donnent des annulations dans C/C M . Un résultat provenant de Thaine est utilisé: il est en fait une utilisation extrèmement ingénieuse du théorème de densité de Chebotarev.

La conjecture principale se déduit de façon analogue mais en raisonnant pour les corps de la tour cyclotomique. On se souvient que les résultats précédents ont été démontrés pour la première fois par B. Mazur et A. Wiles dans un article longtemps attendu et qui utilisait des résultats très fins sur les courbes modulaires et les groupes de pointes portées par leurs jacobiennes [Invent. Math. 76, 179-330 (1984; Zbl 0545.12005)]. Une variante de leur méthode a été depuis généralisé depuis par Wiles et Hida- Tilouine).

L’adjonction de cet appendice est un complément très heureux à la réedition conjointe de Cyclotomic fields I et II de Lang en un ouvrage unique: en effet la méthode de Thaine, Rubin et Kolyvagin a été employée dans d’autres contextes (unités elliptiques, points de Heegner) et a donné de magnifiques résultats.

Reviewer: R.Gillard

MSC:
11R18Cyclotomic extensions
11-02Research monographs (number theory)
11G16Elliptic and modular units
11R27Units and factorization
11R29Class numbers, class groups, discriminants