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On Fourier series. (Sur la série de Fourier.) (French) JFM 13.0184.01

Herr Jordan teilt folgenden Satz mit: “Es seien x 1 x 2 x n eine Reihe von Werten des x im Intervalle (0,ε),y 1 y 2 y n die entsprechenden Werte einer (eindeutigen und endlichen) Function F(x). Die Punkte x 1 ,y 1 ,x n ,y n bilden ein Polygon. Die Summe der positiven Glieder der Reihe

y 2 -y 1 ,y 3 -y 2 y n -y n-1

heisse die positive Schwankung des Polygones, die Summe ihrer negativen Glieder die negative Schwankung; die Summe der absoluten Werte beider Zahlen die vollständige Schwankung. Aendert man das Polygon ab, so können folgende Fälle eintreten: 1) Es kann so gewählt werden, dass seine Schwankungen jede Grenze übersteigen; 2) wie auch das Polygon gewählt werden mag, seine positive und negative Schwankung können gewisse feste Grenzen P ε ,N ε nicht überschreiten. In letzterem Falle soll F(x) eine Function mit endlicher Schwankung im Intervalle (0,ε) heissen; P ε ihre positive, N ε ihre negative, P ε +N ε ihre vollständige Schwankung.”

Dieses vorausgesetzt, folgt unmittelbar für alle Werte von x im Intervalle (0,ε)

F(x)=F(0)+P x -N x ,

so dass F(x) als Differenz zweier Functionen erscheint, die im genannten Intervalle nicht abenehmen. Ist ferner F(x) im Intervalle (-π,+π) endlich und integrabel, so kann man nun nach Dirichlet’s Vorgang schliessen, dass die Fourier’sche Reihe für jeden Wert von x, in dessen Umgebung die Schwankungen endlich sind, die Summe 1 2[F(x-0)+F(x+0)] hat.


MSC:
26A45Functions of bounded variation (one real variable)