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On the expansion of real functions in series by the method of least squares. (Ueber die Entwickelung reeller Functionen in Reihen mittelst der Methode der kleinsten Quadrate.) (German) JFM 15.0321.03

Herr Gram legt hier frühere Arbeit (vgl. F. d. M. XI. 1879. 166, JFM 11.0166.01) in etwas geänderter und vervollständigter Form vor. Es seien v x und f ( x) von α bis β continuirlich gegebene Functionen von x, die erstere durchaus positiv, und

y x (n) =a 1 X 1 +a 2 X 2 ++a n X n

eine nach bekannten Functionen fortschreitende Reihe. Die Coefficienten a 1 ,a 2 ,,a n sind so zu bestimmen, dass

α β v x (f(x)-y x (n) ) 2 dx

ein Minimum wird. Man gelangt stets zu einer einzigen Lösung, welche sich in der Form

y x (n) =A 1 C 1 𝛷 1 (x)+A 2 C 2 𝛷 2 (x)++A n C n 𝛷 n (x)

darstellen lässt, wo die 𝛷 Gleichung

α β v X 𝛷 m (x)𝛷 n (x)dx=0(m=n)

identisch befriedigen und als Determinanten dargestellt werden können. Die Zähler und Nenner haben die folgende Form

A i = α β v x 𝛷 i (x)f(x)dx,C i = alpha β v x 𝛷 i 2 (x)dx·

Für den Minimalwert des obigen Integrales erhält man

M n = α β v x f 2 (x)dx-Q n ,

wo

Q n =A 1 2 C 1 +A 2 2 C 2 ++A n 2 C n ·

Wenn nun limM n =0 bei limn=+, so wird die Reihe y (n) , ins Unendliche forgesetzt, im allgemeinen, d. h. discrete Punkte zwischen α und β abgerechnet, gegen f(x) convergiren. Wenn für die Entwickelung einer beliebigen endlichen aber unstetigen Function limM n =0 wird, so lässt sich jede endliche und stiege Function, die nur eine endliche Anzahl von Maximis und Minimis besitzt, so überall übereinstimmen mit Ausnahme der festen, “kritischen” Punkte, welche allen Entwickelungen gemeinsam und nur von v und den 𝛷 abhängig sind. Solche sind nicht vorhanden, wenn im Unstetigkeitspunkte y=1 2(f(x+0)+f(x-0)) ist. Sogar wenn f(x) in einer endlichen Anzahl von discreten Punkten endliche Sprünge macht oder oscillirend mit endlichen Schwankungen ist, gilt die Entwickelung für alle anderen Punkte. Ist dagegen f(x) irgendwo unendlich, so bedarf die Reihe einer genaueren Untersuchung; doch bleibt sie, falls β αvf 2 (x)dx endlich ist, noch im allgemeinen gültig. Ist dieses Integral eine endliche Grösse, so kann ein von Null verschiedener Grenzwert von M n nur vorkommen, 1) wenn das System der Entwickelungsfunctionen 𝛷 i (x) nicht (relativ) vollständig ist, 2) wenn die kritischen Punkte in unendlicher Anzahl vorhanden sind, 3) wenn f(x) auf einer endlichen Strecke unendlich viele Maxima und Minima hat, 4) wenn f(x) in irgend einem Punkte gleichzeitig unendlich und unstetig oder oscillirend wird. Dabei heisst ein System 𝛷 i (relativ) vollständig, wenn mittelst desselben eine unstetige Function Ψ(x,z), welche von α bis z mit einer willkürlich gewählten endlichen und stetigen Function χ(x) zusammenfällt und von z bis β Null ist, bei willkürlichem Unstetigkeitspunkt x=z sich im allgemeinen darstellen lässt. Die Methode wird schliesslich an bekannten Systemen von Entwickelungsfunctionen geprüft.

MSC:
41-99Approximations and expansions (MSC2000)