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Ueber einen Mittelwertsatz. (German) JFM 21.0260.07

Es wird der Satz bewiesen, welchen die Formel ausdrückt:

𝛴a k φ(x k ) 𝛴a k >φ𝛴a k x k 𝛴a k (k=1,2,,n)

(Bedingung ist, dass alle a k positiv sind, und φ(x) im Bereiche der vorkommenden Argumente nie unendlich wird), und daraus die Gleichung abgeleitet:

𝛴a ν φ(x ν )-(𝛴a ν )φ𝛴a ν x ν 𝛴a ν =1 2M𝛴a ν a μ (x ν -x μ ) 2 𝛴a ν

wo M einen Mittelwert von φ '' (x) bedeutet. Die Einsetzung specieller Functionen φ(x)=x m , e x , sinx, tgx führt zu einigen bekannten Resultaten. Aus einer Specialisirung geht ferner der Satz hervor: Wenn für positive x 1 ,x 2 , die Summe

ν=1 ν= x ν m (m>1)

convergirt, so convergirt auch die Summe

ν=1 ν= x ν ν -m-1 m-ϱ fürϱ>0·

Der Beweis dafür schliesst den Aufsatz.