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On the positive quadratic forms and on the continued fractions like algorithms. (Ueber die positiven quadratischen Formen und über kettenbruchähnliche Algorithmen.) (German) JFM 23.0212.01

Die Grundlage für die Entwickelungen der vorliegenden Abhandlung bilden die folgenden geometrischen Betrachtungen. Eine definite quadratische Form f der n Veränderlichen x 1 ,,x n mit nicht verschwindender Determinante 𝛥 werde als Summe der Quadrate von n reellen Linearformen dargestellt:

f=ξ 1 2 +ξ 2 2 ++ξ n 2 ,
ξ a =π a1 x 1 +π a2 x 2 ++π an x n (a=1,2,,n),

und dann werden die Werte dieser Linearformen ξ 1 ,,ξ n als rechtwinklige Coordinaten der Punkte eines n-dimensionalen Raumes gedeutet, so dass auch jedem Wertsysteme der Veränderlichen x 1 ,,x n ein Punkt dieses Raumes entspricht. Zunächst mache man diejenigen Punkte kenntlich, für welche jedes Mal eine der n Veränderlichen x 1 ,x 2 ,,x n den Wert 1 und die anderen n-1 den Wert 0 haben. Diese n Punkte bestimmen zusammen mit dem Nullpunkte eine n-kantige Ecke, welche sich leicht zu einem n-dimensionalen Parallelepipedon vervollständigen lässt. An jede der 2n Begrenzungsflächen dieses Elementarparallelepipedons lege man gleich gerichtet ein vollkommen gleiches Parallelepipedon, an die noch freien Begrenzungsflächen dieser Parallelepipeda wieder ein gleiches, und dieses Verfahren denke man sich unbegrenzt fortgesetzt, so dass auf diese Weise der ganze n-dimensionale Raum in parallelepipedische Kammern eingeteilt ist. Die Ecken dieser Parallelepipeda bilden “ein regelmässiges Punktsystem”; sie werden durch diejenigen Werte ξ 1 ,,ξ n dargestellt, welche man durch Benutzung ganzzahliger Systeme x 1 ,,x n findet. Die quadratische Form f stellt offenbar das Quadrat der Entfernung des Punktes ξ 1 ,,ξ n von dem Nullpunkte dar, und die Wurzel aus ihrer Determinante 𝛥 liefert den Rauminhalt des Elementarparallelepipedons. Benutzt man die erste Thatsache und bedenkt ferner, dass der Abstand zweier Parallelebenen eine gegebene Grösse nicht überschreiten kann, so folgt die Grundeigenschaft der definiten quadratischen Form, derzufolge es nur eine endliche Anzahl von ganzzahligen Wertsystemen ihrer Veränderlichen x 1 ,,x n giebt, für welche ihr Wert unterhalb einer gewissen Grenze liegt. Nachdem noch gezeigt ist, dass die Willkür in der Darstellung der Form f als Summe von n Quadraten linearer Formen geometrisch nur die Neigung der Elementarparallelepipeda gegen die rechtwinkligen Coordinantenaxen betrifft, während die Figur derselben von jener Willkür unabhängig ist, kommt der Verfasser zu seiner Hauptaufgabe: der anschaulichen Auslegung des Aequivalenzbegriffes. Das reguläre Punktsystem ist nämlich noch verschiedener anderer parallelepipedischer Anordnungen seiner Punkte fähig, und zwar entspricht dem Inbegriff aller dieser möglichen Anordnungen eine Klasse von äquivalenten Formen. Nun werde mit M die Entfernung des Nullpunktes von diejenigen Punkten des regulären Punktsystems bezeichnet, welche dem Nullpunkte nächst gelegen sind: es ist dann M die kleinste von 0 versciedene Grösse, welche durch die Form f mittels ganzer Zahlen darstellbar ist. Ferner werde um jeden Punkt des Systems als Mittelpunkt eine n-dimensionale Kugel mit dem Radius 1 2M construirt. Bedenken wir, dass diese Kugeln sich sämtlich ausschliessen müssen, so kommt, in Anbetracht der übrig bleibenden Raumlücken, in einem überall hin gleichmässig ausgedehnten unendlich wachsenden Raume auf je einen dem Kugelinhalte gleichen Raumteil im Durchschnitt weniger als ein Punkt des Systems. Der Kugelinhalt muss also kleiner sein als der Inhalt 𝛥 des Elementarparallelepipedons. Diese Thatsache liefert die Ungleichung

M<2n πenπe 1 3n n𝛥 n<n𝛥 n,

welche für das Minimum M einer quadratischen Form eine viel engere obere Grenze liefert als die bekannte Hermite’sche Formel.

Die wichtigste Anwendung dieser Ungleichung betrifft die Theorie der Zahlenkörper n ten Grades. Ist D der absolute Wert der Grundzahl eines solchen Körpers K und ω 1 ,,ω n eine Basis seiner ganzen Zahlen, so betrachtet der Verfasser die definite quadratische Form

f= h |ω 1 (h) x 1 +ω 2 (h) x 2 ++ω n (h) x n | 2 ,(h=1,2,,n)

wo die oberen Indices zur Unterscheidung der n zu K conjugirten Körper dienen. Sind dann 𝔞 und 𝔪 Ideale des Körpers, deren Product ein Hauptideal μ ergiebt, so folgt leicht aus der obigen Ungleichung h |μ (h) | 2 <nDN(𝔞) 2 n. Wird nun benutzt, dass eine Summe von n positiven Grössen niemals kleiner ist als das n-fache der n ten Wurzel aus ihrem Producte, so ergiebt sich wegen N(μ)=±N(𝔞)N(𝔪) die Ungleichung N(𝔪)<D, d. h. zu jedem Ideal giebt es behufs Herstellung eines Hauptideals mindestens einen Multiplicator, dessen Norm <D ist. Wegen |N(𝔪)1 folgt D>1, d. h. jede Discriminante enthält Primzahlen als Factoren, worin eine das Wesen der algebraischen Zahlen tief berührende Eigenschaft ausgedrückt ist.


MSC:
11E12Quadratic forms over global rings and fields
11H50Minima of forms
11R29Class numbers, class groups, discriminants