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Arithmetical theorems. (Théorèmes arithmetiques.) (French) JFM 23.0214.01

In dieser Note erweitert der Verfasser die Methoden und Resultate seiner im vorigen Referate (siehe JFM 23.0212.01) besprochenen Abhandlung. Statt der definiten quadratischen Form wird allgemein eine Summe von der Gestalt f=|ξ p |+|η p |+|ζ p |+ der Betrachtung zu Grunde gelegt, wo ξ,η,ζ, irgend n unabhängige Linearformen der n Veränderlichen x,y,z, bedeuten, unter denen β Paare conjugirt imaginärer vorhanden sind, während die übrigen α=n-2β Linearformen reelle Coefficienten haben. Ist ferner p eine reelle Grösse 1 und 𝛥 die Determinante der Formen, so gilt der Satz, dass man stets den x,y,z, solche ganzzahligen Werte erteilen kann, dass die genannte Summe der p ten Potenzen kleiner als die Grösse

2 π β 𝛤1+n p 𝛤1+1 p α 2 -2β p 𝛤1+2 p β |𝛥| p n <n|𝛥| p n

ausfällt. Nachdem hieraus der im vorigen Referat genannte Satz von der Discriminante eines Körpers K vom n ten Grade von neuem bewiesen ist, wird noch eines darüber hinausgehenden Satzes Erwähnung gethan, demzufolge diese Discriminante, absolut genommen, stets grösser ist als π 4 β n n 2·3n 2 , wo 2β die Zahl der imaginären zu K conjugirten Körper beträgt.

MSC:
11H50Minima of forms
11R29Class numbers, class groups, discriminants