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On the analytic representation of the integrals and the invariants of a homogeneous linear differential equation. (Sur la représentasion analytique des intégrales et des invariants d’une équation différentielle linéaire et homogène.) (French) JFM 23.0327.01

Die Integrale einer linearen homogenen Differentialgleichung mit eindeutigen Coefficienten erfahren eine lineare Substitution, wenn die unabhängige Variable x einen geschlossenen Weg beschreibt, der einen oder mehrere Verzweigungspunkte umgiebt. Die Berechnung der Coefficienten dieser Substitution aus der Differentialgleichung ist in dem Falle, dass es sich nur um einen solchen Punkt handelt und die Integrale in ihm alle “regulär” sind, längst von Herrn Fuchs erledigt. Von andern Fällen hat zunächst Herr Hamburger (J. für Math. LXXXIII, vgl. F. d. M. IX. 1877. 289, JFM 09.0289.02) den Fall in Angriff genommen, dass jener Weg innerhalb eines Ringes zwischen zwei concentrischen Kreisen verläuft; er setzte, unter x 0 eine Stelle dieses Ringgebietes verstanden, x=x 0 e τ und entwickelte die Integrale nach Potenzen von τ. Convergiren die erhaltenen Reihen noch für τ=2πi, so führen sie zur Lösung der Aufgabe; convergiren sie nicht so weit, so kann man sich mit Einschaltung von Zwischenwerten behelfen, die, wie der Verf. zeigt, gerade bei diesem Ansatz weniger Verwickelung bedingt als sonst. Herr Poincaré (Acta Math. IV, vgl. F. d. M. XVI. 1884. 252, JFM 16.0252.01) setzte statt dessen:

x=x 0 (1+t) 2h πi (1-t) -2h πi ,

(mit anderen Worten, er bildete den unendlich oft überdeckt gedachten Kreisring auf einen Vollkreis ab) und entwickelte nun nach Potenzen von t. Der Verf. des vorliegenden Aufsatzes verfolgt die bei beiden Methoden erforderlichen Rechnungen ins einzelne und beseitigt die scheinbare Abhängigkeit der Resultate von x 0 durch Entwickelung der Schlussformeln nach Potenzen dieser Grösse und Beibehaltung nur des constanten Gliedes. Ein Schlussparagraph erweitert die Resultate auf Ringgebiete zwischen confocalen Ellipsen. (Vergl. das Referat über Günther, oben S. 324 (JFM 23.0324.01).)


References:
[1]Fuchs.Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veränderlichen Coefficienten. § 3. Journal für Mathematik. Bd. 66.
[2]Hamburger.Über ein Princip zur Darstellung des Verhaltens mehrdeutiger Functionen einer complexen Variabeln, insbesondere der Integrale linearer Differentialgleichungen in der Umgebung singulärer Punkte. Journal für Mathematik. Bd. 83.
[3]Poincaré.Sur les groupes des équations différentielles linéaires, page 211. Ce journa, Tome 4.
[4]Je veux profiter de cette occasion pour faire ressortir la circonstance suivante, qui paraît ne pas avoir été remarquée jusqu’à présent:M. Hamburger dans le mémoire cité qui a paru en 1877, a trouvé dans les expressions qu’il donne pour les invariants toute une classe de séries, qui jouissent de la propriété de représenter des constantes différentes dans différentes portions du plan. L’importance de séries pareilles au point de vue de la théorie des fonctions ressort des mémoires suivants, qui ont paru postérieurement à celui deM. Hamburger:Weierstrass.Zur Functionenlehre. Monatsbericht der Königl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin, August 1880.Hermite.Sur quelques points de la théorie des fonctions. Acta Societatis Scientiarum Fennicæ. T. 12. Helsingfors 1881. Journal für Mathematik. Bd. 91. Berlin 1881.
[5]Fuchs.Über die Darstellung der Functionen complexer Variabeln, insbesondere der Integrale linearer Differentialgleichungen. Journal für Mathematik. Bd. 75. Berlin 1873.
[6]Zur Theorie etc.
[7]Comptes rendus, mars 1879.
[8]VoirPoincaré,Les fonctions fuchsiennes et l’arithmétique, Journal des math. pures et appliquécs, 4ème série, tome 3. Quand le mémoire présent était déjà terminé l’auteur a eu connaissance d’une thèse deM. Vogt (Sur les invariants fondamentaux des équations différentielles linéaires du second ordre. Paris 1889) dans laquelle ce théorème deM. Poincaré se trouve exposé en détail. On y trouve aussi des expressions analytiques pour les invariants d’une équation différentielle de 2me ordre dont je me propose à un autre endroit de faire ressortir les rapports avec les expressions déjà connues.
[9]Cette substitution a été employé parM. Poincaré dans le problème des trois corps de la mécanique (Comptes rendus, 27 février 1882) ainsi que dans le calcul des invariants d’une équation différentielle linéaire et homogène (Sur les groupes des équations linéaires. Ce journal, T. 4, page 211). Cf. § 2 de ce mémoire.
[10]voir page 73 dansZur Functionenlehre. Abhandlungen aus der Functionenlehre. Berlin 1886.
[11]Voir page 21.
[12]VoirPoincaré,Sur les groupes etc., pag. 202.
[13]Il résulte immédiatement de la formule (14) du paragraphe précédent quez 1(x),...,zn(x) forment un système fondamental d’intégrales.
[14]VoirPoincaré,Sur les groupes etc., pag. 211.
[15]Weierstrass,Über die Theorie der analytischen Facultäten. Journal für Mathematik, Bd. 51, pag. 43, etSophie Kowalevski,Zur Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Einleitung. Journal für Mathematik, Bd. 80.
[16]Briot etBouquet.Recherches sur les propriétés des fonctions définies par des équations différentielles. Deuxième mémoire. Journal de l’école polytechnique. Cahier 36 (Tome 21), page 133 sqq.
[17]Weierstrass.Zur Functionenlehre. Abhandlungen aus der Functionenlehre. Berlin 1886. Pag. 73.
[18]voir la formule (5) du § 1.
[19]voirPoincaré.Sur les groupes etc., § 3.
[20]Über ein Princip etc.
[21]voir page 3.