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On the expansion of some infinite products. (English) JFM 25.0432.01

Bedeuten (λ) das unendliche Product (1-λ)(1-λq)(1-λq 2 ), (1-q r )! das endliche Product (1-q)(1-q 2 )(1-q r ), H r (λ 1 ,λ 2 ,λ 3 ,) den Coefficienten von x r in der Entwickelung von 1/(λ 1 x)(λ 2 x)(λ 3 x); ist ferner

h r (λ 1 ,λ 2 ,)=H r (λ 1 ,λ 2 ,)(1-q r )!,
δf(λ)=f(λ)-f(λq) λ,

so ist:

(λλ 1 λ 2 λ 3 ) (λλ 2 )(λλ 3 )(λ 1 λ 2 )(λ 1 λ 3 )=1+H 1 (λ 2 ,λ 3 )h 1 (λ,λ 1 )+H 2 (λ 2 ,λ 3 )h 2 (λ,λ 1 )+·

Entwickelt man

1 P(λ 2 )= n=0 (1-2λ 2 q n cosθ+λ 2 2 q 2n )

nach Potenzen von λ 2 in die Reihe:

1+ r=1 λ 2 r A r (θ) (1-q r )!,

und setzt man in der Heine’schen Reihe

φ(a,b,c,q,x)=1+(1-a)(1-b) (1-q)(1-c)x+(1-a)(1-aq)(1-b)(1-bq) (1-q)(1-q 2 )(1-c)(1-cq)x 2 +
a=λ 3 e -θi ,b=λ 4 e -θi ,e=λ 3 λ 4 ,x=λ 2 e θi ,

so ist

φ(λ 3 e -θi ,λ 4 e -θi ,λ 3 λ 4 ,q,λ 2 e θi ) n=0 (1-λ 2 e θi q n )(1-λ 3 λ 4 q n )

eine rationale Function von θ und symmetrisch in λ 2 , λ 3 , λ 4 und kann auf die Form gebracht werden:

1 P(λ 2 )P(λ 3 )P(λ 4 )·{1+A 1 (θ)H 1 (λ 2 ,λ 3 ,λ 4 )+A 2 (θ)H 2 (λ 2 ,λ 3 ,λ 4 )+}·

In ähnlicher Weise lässt sich der Quotient entwickeln:

K 0 +K 1 A 1 (θ)+K 2 A 2 (θ)+ P(λ)=L 0 +L 1 A 1 (θ)+L 2 A 2 (θ)+;

das absolute Glied ist L 0 =K 0 +K 1 (λ)+K 2 (λ 2 )+ und heisst die erzeugende Function der K-Reihe, während für die Grössen L r das Gesetz gilt:

(1-q r+1 )L r+1 =λL r -L r-1 +δL r ,
L r =H r (λ,δ)L 0 ;( '' resp. '' )

weiter ist

K 0 +K 1 A 1 (θ)+K 2 A 2 (θ)+ (1-2λcosθ+λ 2 )(1-2λqcosθ+λ 2 q 2 )
=(λδ) P(λ)P(δ)(K 0 +K 1 λ+K 2 λ 2 +)
={1+H 1 (λ,δ)A 1 (θ)+H 2 (λ,δ)A 2 (θ)+}{K 0 +K 1 λ+K 2 λ 2 +}·

Die erzeugende Function von

{K 0 +K 1 A 1 (θ)+K 2 A 2 (θ)+}/P(λ),

ausgedrückt in Potenzen von k, erhält man hieraus, indem man auf der rechten Seite A r (θ) durch k r ersetzt.

Die erzeugende Function φ 3 (λ) von 1/P(λ 1 )P(λ 2 )P(λ 3 ) genügt der Gleichung:

φ 3 (λ)(1-λλ 1 )(1-λλ 2 )(1-λλ 3 )=φ 3 (λq)(1-λλ 1 λ 2 λ 3 );

setzt man sie gleich K 0 +kK 1 1-q+, so ergiebt sich die Gleichung:

(p 1 -p 3 )K 0 =(1-p 4 )K 1 ,

wo p 1 , p 2 , p 3 die Coefficienten der Gleichung bedeuten, deren Wurzeln λ, λ 1 , λ 2 , λ 3 sind.

Durch Gleichsetzung der Coefficienten der Cosinus der gleichen Vielfachen von θ in der Formel

a 0 +a 1 A 1 (θ)+a 2 A 2 (θ)+=b 0 +2b 1 cosθ+2b 2 cos2θ+

ergeben sich Relationen zwischen den a und b, aus denen sich die a durch die b ausdrücken lassen; z. B.

a 0 =b 0 -(1+q)b 2 +q(1+q 2 )b 4 +q 3 (1+q 3 )b 6 ++(-1) r q 1 2r(r-1) (1+q r )b 2r +, (1-q)a 1 =(1-q)b 1 -(1-q 3 )b 3 +q(1-q 5 )b 5 -q 3 (1-q 7 )b 7 ++(-1) r q 1 2r(r-1) (1-q 2r+1 )b 2r+1 +·

Hieraus werden Entwickelungen des unendlichen Productes (1-q n ) 2 hergeleitet.

Das Product (1+2λqcosθ+λ 2 q 2 )(1+2λq 2 cosθ+λ 2 q 4 ) giebt entwickelt:

1+λ 2 q 2 1-q+λ 4 q 6 (1-q)(1-q 2 )+λ 6 q 12 (1-q)(1-q 2 )(1-q 3 )++q λ 1-qA 1 (θ)1+λ 2 q 3 1-q+λ 4 q 8 (1-q)(1-q 2 )++q 3 λ 2 (1-q)(1-q 2 )A 2 (θ)1+λ 2 q 4 1-q++;

dabei genügt die Reihe

χ(λ 2 )=1+λ 2 q 2 1-q+λ 4 q 6 (1-q)(1-q 2 )+

der Gleichung:

χ(λ 2 )-χ(λ 2 q)=λ 2 q 2 χ(λ 2 q 2 )·

Endlich ist:

(1+2q 1 2 cosθ+q)(1+2q 3 2 cosθ+q 3 )=φ(q)+q 1 2 A 1 (θ) 1-qψ(q),

wo gesetzt ist:

φ(q)=1+q 1-q+q 4 (1-q)(1-q 2 )+=1 (1-q 5n±1 ),ψ(q)=1+q 2 1-q+q 6 (1-q)(1-q 2 )+=1 (1-q 5n±2 ),

und die folgenden Relationen bestehen:

φ(q)+φ(-q)=2(1+q 2n ) (1-q 8n-4 )φ(q 16 ),φ(q)-φ(-q)=2(1+q 2n ) (1-q 8n-4 )qψ(-q 4 ),ψ(q)-ψ(-q)=2(1+q 2n ) (1-q 8n-4 )q 3 ψ(q 16 ),ψ(q)+ψ(1-q)=2(1+q 2n ) (1-q 8n-4 )φ(-q 4 )·


MSC:
05A19Combinatorial identities, bijective combinatorics
11B65Binomial coefficients, etc.