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A contribution to the theory of Legendre polynomials. (Ein Beitrag zur Theorie des Legendre’schen Polynoms.) (German) JFM 25.0817.02

Die Mitteilung betrifft die Frage nach dem kleinsten von Null verschiedenen Werte, dessen das Integral

J= α β [f(x)] 2 dx

fähig ist, wenn man für f(x) eine ganze rationale Function (n-1) ten Grades mit ganzzahligen Coefficienten wählt und unter α und β gegebene Constanten versteht (β>α). Da J eine definite quadratische Form der n Coefficienten von f(x) ist, so bedarf es, um eine obere Grenze für das Minimum zu erhalten, der Berechnung der Discriminante dieser Form. Diese Berechnung lässt sich für den Fall α=-1, β=+1 durchführen. Drückt man nämlich in f(x) die Potenzen von x durch Kugelfunctionen aus, so erhält man J als Summe von Quadraten linearer Formen; und aus dem Resultat für α=-1, β=+1 ergiebt sich das für α=0, β=1 mittels einer bekannten Determinantenformel. So gelangt der Verfasser zu dem Resultat: “Die Discriminante der quadratischen Form 0 1 [f(x)] 2 dx hat den Wert

{1 n-1 2 n-2 (n-2) 2 (n-1) 1 } 4 1 2n-1 2 2n-2 (2n-2) 2 (2n-1) 1

und stimmt genau überein mit dem reciproken Werte der Discriminante der Gleichung n ten Grades:

ξ n +n 1 2 ξ n-1 +n 2 2 ξ n-2 ++1=0,

deren linke Seite sich durch eine lineare Transformation der Veränderlichen in das Legendre’sche Polynom überführen lässt.”

Die Beantwortung der ursprünglich gestellten Frage erfolgt auf Grund eines Minkowski’schen Satzes, dem zufolge es stets möglich ist, in einer definiten quadratischen Form die n Veränderlichen derart als ganze Zahlen zu bestimmen, dass der Wert der quadratischen Form kleiner ausfällt, als das n-fache der n ten Wurzel aus ihrer Discriminante. Letztere aber lässt sich für das Integral J in der Form ηβ-α 4 n 2 darstellen. Daraus folgt: “Das Integral J kann einen beliebig kleinen positiven Wert erhalten, wenn man die ganze ganzzahlige Function f(x) geeignet wählt, vorausgesetzt, dass das Integrationsintervall α bis β kleiner als 4 ist”.


References:
[1]Crelle’s Journal, Bd. 103, S. 342.
[2]Crelle’s Journal, Bd. 107, S. 291.