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An introduction to the algebra of quanties. (English) JFM 26.0135.01
Oxford. Clarendon Press. XIII + 423 S. 8 . [Nature LIII. 147-148.] (1895).

Da das bekannte Salmon’sche Werk über die Algebra der linearen Transformationen voraussichtlich nicht neu bearbeitet werden wird, hat sich der Verfasser entschlossen, gestützt auf mehrjährige Vorlesungen über den Gegenstand, ein selbständiges Buch herauszugeben. Der abweichende Titel ist zum Andenken an die klassischen “Memoirs upon Quantics” von Cayley gewählt.

Das Buch soll ein solches für englische Anfänger sein; es hat daher in der Auswahl des Stoffes eine wesentliche Beschränkung stattgefunden. Von der mit so grossem Erfolge von Aronhold, Clebsch, Gordan u. a. gehandhabten deutschen symbolischen Methode findet man nur Andeutungen. Ueberhaupt sind, mit einziger Ausnahme der Hilbert’schen fundamentalen Untersuchungen über die Endlichkeit eines Formensystems (auch dieses nur für binäre Formen), im wesentlichen nur englische Autoren massgebend gewosen; von den älteren vor allem Boole, Cayley und Sylvester, von den neueren Hammond und MacMahon.

Eine natürliche Folge dieser Beschränkung ist, dass die formale Verwendung der Differentiationsprocesse vorherrscht, und deren innere Bedeutung im Sinne der Lie’schen Theorie der Differentialinvarianten nicht zu erkennen ist.

Auf der anderen Seite hat der Verfasser bei der Verarbeitung des umfangreichen Stoffes ein grosses pädagogisches Geschick bewiesen. Es wird immer von den einfachsten Fällen ausgegangen, und diese werden so behandelt, dass der Leser den Uebergang zu den Verallgemeinerungen fast von selbst finden könnte. Vor allem ist durch Einflechtung einer hinreichenden Anzahl zweckmässig ausgewählter Beispiele (in kleinerem Drucke) dafür Sorge getragen, dass der Leser den Stoff wirklich beherrschen lernt. Ein sorgfältiges Namen- und Sachregister ist eine sehr nützliche Zugabe: wegen eingehenderer historischer Referenzen ist kurzer Hand auf den “Bericht” des Unterzeichneten verwiesen worden. Der Darstellung darf man das Lob der Klarheit nicht vorenthalten; kurz, das Werk ist als eine sehr willkommene Ergänzung zu den vorhandenen Lehrbüchern zu begrüssen.

Der Inhalt des Buches verteilt sich auf 16 Capitel wie folgt. Nach einer Einleitung über die Principien und einfachsten Methoden werden in II und III die wesentlichen Eigenschaften der (binären) In- und Covarianten abgeleitet. In IV wird nach Boole die Cogredienz der Operatoren y und - x mit x und y besprochen und die Cayley’sche Symbolik entwickelt. In V werden die Invarianten als Functionen der Wurzeln betrachtet, woran sich in VI und VII die Differentialgleichungen der Invarianten und Seminvarianten schliessen; als eine Hauptanwendung erscheint das “Reciprocitätsgesetz”. Capitel VIII ist den Sylvester-Hammond’schen Untersuchungen über “erzeugende Functionen” gewidmet.

In IX wird der Hilbert’sche Endlichkeitsbeweis geführt. Die beiden nächsten Capitel befassen sich mit der MacMahon-Cayley’schen Theorie der Seminvarianten, bei der die binären Formen als von unbegrenzt hoher Ordnung angesehen werden. Den Schluss der binären Theorie bildet die Einführung der kanonischen Formen, mit Anwendung auf die Auflösung der Gleichungen vierten Grades. Es werden auch höhere Gebiete berücksichtigt. Es folgen specielle binäre Formen mit geometrischen Anwendungen.

Das letzte Capitel giebt einen Ausblick auf ternäre Formen, soweit sie binären Mitteln zugänglich sind. Die Methode ist dabei dieselbe, wie sie in neuerer Zeit fast zugleich von verschiedenen Autoren angegeben worden ist. Man schreibt die ternäre Form f p ter Ordnung in der nach der einen Variable geordneten Gestalt:

f=a p z p +p(a p-1 x+b p-1 y)z p-1 +p(p-1) 1·2(a p-2 x 2 +2b p-2 xy+c p-2 y 2 )z p-2 ++a 0 x p +pb 0 x p-1 y+p(p-1) 1·2c 0 x p-2 y 2 +·

Eine Invariante von f ist dann eine Simultaninvariante (mit geeigneten Grad- und Gewichtsfestsetzungen) der Formen: a p , a p-1 x+b p-1 y etc. Berücksichtigt man gleichzeitig die drei möglichen Anordnungen von f, so gelangt man auch zu den Covarianten etc. Zugleich ergeben sich so unmittelbar die zugehörigen Differentialgleichungen, wo nur noch der Zusammenhang zwischen den letzteren zu untersuchen ist.

Im besonderen werden nach dieser Methode die ternäre Form zweiter und dritter Ordnung behandelt. Alles in allem scheint das Werk dem praktischen Bedürfnisse, für das es in erster Linie geschrieben ist, vollauf zu genügen.