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Ueber eine einfache Gruppe von 360 ebenen Collineationen. (German) JFM 27.0103.03
Die Gruppe G 360 , welche den Gegenstand der vorliegenden Abhandlung bildet, ist mit den geraden Vertauschungen von sechs Dingen holoedrisch isomorph. Sie wurde ebenso wie die von Klein gefundene G 168 von Jordan bei der Bestimmung aller endlichen Gruppen im ternären Gebiete übersehen und erst 1889 von Valentiner aufgestellt; dieser zeigte, dass die fragliche Gruppe aus 45 symmetrischen Collineationen, 80 von der Periode 3, 90 von der Periode 4 und 144 von der Periode 5 besteht, merkte aber nicht den oben angegebenen Isomorphismus. Diese G 360 scheint berufen zu sein, hinsichtlich ihrerBedeutung und ihrer Anwendungen eine ähnliche Rolle zu spielen wie die G 168 . Die G 360 ist wie die G 168 einfach und zeigt viele Analogien mit derselben; namentlich lassen sich ihre vollständigen Formensysteme in völlig übereinstimmender Weise ableiten. Die einfachste zur G 360 gehörige Form kann man auf die folgende Gestalt bringen: F 6 =10x 3 y 3 +9z(x 5 +y 5 )-45x 2 y 2 z 2 -135xyz 4 +27z 6 . Das Formensystem besteht nun aus F 6 , ihrer Hesse’schen Determinante H, der durch die Derivirten H 1 ,H 2 ,H 3 geänderten Hesse’schen Determinante 𝛷 und der Functionaldeterminanten Ψ von F, H und 𝛷, welche letztere, gleich Null gesetzt, 45 Symmetrieaxen darstellt. Innerhalb der G 360 treten zwei Systeme von je 15 gleichberechtigten Oktaedergruppen und zwei Systeme von je sechs gleichberechtigten Ikosaedergruppen auf. Durch die geraden Vertauschungen der zu den einzelnen Ikosaedergruppen eines solchen Systems gehörenden Gebilde entsteht die G 360 . – Von anderen Untergruppen der G 360 seien noch zehn gleichberechtigte G 36 erwähnt, welche Collineationsgruppen von harmonischen C 3 und daher schon als Untergruppen der Hesse’schen Gruppe G 216 bekannt sind.

References:
[1]Mémoire sur les équations différentielles linéaires à intégrale algébrique, Journal für Mathematik Bd. 84 (1878), sowie:Sur la détermination des groupes d’ordre fini contenus dans le groupe linéaire, Atti della Reale Accademia di Napoli (1880).
[2]De endelige Transformations-Gruppers Theori, avec un résumé en français (1889) in den Abhandlungen der Dänischen Akademie 6. Reihe V.
[3]S. 151, 222 der citirten Arbeit.
[4]Eine eingehende Behandlung der Hesse’schen Gruppe findet man in einer Abhandlung von Herrn Maschke,Aufstellung des vollen Formensystems einer quaternären Gruppe von 51840linearen Substitutionen, Math. Ann., Bd. 33.
[5]Man sehe Klein-Fricke,Modulfunctionen I, S. 710.
[6]Was die Normirung der.folgenden Ausdrücke anbetrifft, vergleiche man Salmon-Fiedler,Analytische Geometrie der höheren ebenen Curven, 2. Aufl., S. 243.
[7]Bezüglich der ternären Ikosaedergruppe verweisen wir auf Klein,Vorlesungen über das Ikosaeder II: 4 und Clebsch-Lindemann,Vorlesungen über Geometrie II: 1, S. 578.
[8]Man sehe Klein a. a. O., S. 19.
[9]Man sehe Salmon-Fiedler,Analytische Geometrie der Kegelschnitte, 5. Aufl. S. 668.
[10]Vgl. Klein a. a. O.,Vorlesungen über das Ikosaeder II: 4 und Clebsch-Lindemann,Vorlesungen über Geometrie II: 1, S. 217.
[11]Philosophical Transactions 155 (1854), S. 545.
[12]Man sehe Hurwitz,Ueber algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich. Math. Ann Bd. 41.