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Lectures on the theory of automorphic functions. Volume 2 The function theory and applications. First installment: The theory of automorphic functions proper. (Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen. Zweiter Band: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: Engere Theorie der automorphen Funktionen.) (German) JFM 32.0430.01
Leipzig: B. G. Teubner. 282 S. 8 (1912).

Der erste Band des Werkes (F. d. M. 28, 334, 1897, JFM 28.0334.01) begründete die Theorie der automorphen Funktionen. Nunmehr wird das Einzelne ausgeführt. Im ersten der vier Kapitel des vorliegenden ersten Abschnittes handelt es sich um die Existenz- und Eindeutigkeitstheoreme der automorphen Funktionen, andererseits um die Festlegung der inversen Funktionen, der “polymorphen”, und deren Differentialgleichungen. Vorgelegt sei eine eigentlich diskontinuierliche Polygongruppe 𝛤 linearer Substitutionen einer komplexen Variable ζ. Eine (linear) “automorphe” Funktion z=φ(ζ) bleibt gegenüber irgend einer Substitution V κ von 𝛤 ungeändert; die inverse oder (linear) “polymorphe” Funktion ζ=f(z) transformiert sich bei geschlossenen Umfläufen von z linear: ζ ' =αζ+δ γζ+δ. Sei N ein “Netz” von Polygonen P 0 ,P 1 , von 𝛤, so besteht 𝛤 aus den Substitutionen V 0 ,V 1 ,, die den “Fundamentalbereich” P 0 in P 0 ,P 1 , überführen. Hierbei wird vorausgesetzt, daß also P 0 aus endlich vielen Seiten (Kreisbogen) besteht. P 0 besitze n “Cyklen” “fester” Ecken, und p sei das Geschlecht der aus P 0 durch Zusammenbiegung entsprechender Randkurven hervorgehenden geschlossenen Fläche F, man sagt, daß P 0 und 𝛤 hierdurch den “Charakter” (p,n) erhalten.

Die Existenz der automorphen Funktionen φ wird auf die Riemannschen Existenztheoreme gegründet, mit Benutzung der Beweismethoden von H. A. Schwarz und C. Neumann. Für ζ=ξ+iη wird zunächst ein automorphes Potential u(ξ,η) konstruiert, sodann das zu u konjugierte Potential v(ξ,η)=u ξdη-u ηdξ (bei geeigneter Integrationsbahn). Solche Ausdrücke Z=u+iv sind auf F Integrale zweiter Gattung; durch passende lineare Kombination gehen aus ihnen automorphe Funktionen φ(ζ) hervor. Ist μ die Anzahl der einfachen Pole von φ, so nimmt φ jeden vorgegebenen Wert an μ Stellen in P 0 an: μ heißt die “Wertigkeit” von φ Durch z=φ(ζ) wird somit P 0 auf eine μ-blättrige Riemannsche Fläche F der Variable z vom Geschlecht p abgebildet. Es wird dann φ[ζ(z)] eine zu F gehörende algebraische Funktion und umgekehrt, so daß eine algebraische Funktion von z auf F eine eindeutige Funktion φ(ζ) in P 0 wird.

Die Klassifikation der φ richtet sich nach funktionentheoretischen und gruppentheoretischen Gesichtspunkten, insbesondere sind für die höheren φ die “Hauptkreisgruppen” maßgebend; man hat zwei Hauptklassen von φ, je nachdem sie einen Hauptkreis besitzen oder nicht. Die ersteren sind wiederum entweder solche mit “Grenzkreis” oder aber solche mit isolierten Grenzpunkten.

Was die Integrale der automorphen Gebilde angeht, so lassen sich automorphe Integrale erster und zweiter Gattung herstellen, die eindeutige Funktionen von ζ sind, ein Satz, der sich u. a. auf die Lösungen linearer homogener Differentialgleichungen ausdehnen läßt, deren Koeffizienten auf F algebraisch sind.

Das Hauptproblem für die automorphen Funktionen φ(z) ist, ob solche auf jeder Riemannschen Fläche bei willkürlich gegebenen Verzweigungsstellen e existieren. Auf Grund der Invarianz des Schwarzschen Differentialausdrucks ergibt sich, daß die ζ einer und derselben “Klasse” (die nämlich durch lineare Transformation von ζ aus einander hervorgehen) Integrale einer gewissen Differentialgleichung dritter Ordnung sind.

Das zweite Kapitel bringt die formentheoretischen Ausführungen im Falle p=0. Die automorphen Formen gehen alls den entsprechenden Funktionen direkt durch einen gewissen Differentiationsprozeßhervor.

Für ζ=ζ 1 :ζ 2 wähle man die ζ 1 ,ζ 2 so (als “erlaubte” Werte), daß ζ auf N beschränkt bleibt; die homogenen ζ-Substitutionen U k werden unimodular geschrieben. Eine automorphe Form φ d (ζ 1 ,ζ 2 )=φ ist eine homogene, unverzweigte Funktion der “Dimension” d. Längs eines Weges von (ζ 1 ,ζ 2 ) bis zu einer äquivalenten Stelle soll φ eindeutig fortsetzbar sein und sich daselbst nur um einen konstanten Faktor μ ändern. Übrigens ist im allgemeinen φ d durchaus nicht eindeutig.

Der Quotient zweier φ d mit demselben d und μ ist eine automorphe Funktion. Bezeichnet (ζ,dζ) die Differentialform ζ 1 dζ 2 -ζ 2 dζ 1 , so ist φ -2 =dφ(ζ) (ζ,dζ) eine absolut invariante automorphe Form. Für p=0 entsteht so aus der “Hauptfunktion” z=φ(ζ) die “Hauptform”, die, abgesehen vou n Nullpunkten in den festen Ecken e k , von den Ordnungen 1-1 l k und einem Pole zweiter Ordnung, überall in P 0 endlich und von Null verschieden ist. Somit ist das Produkt

φ -2 1 n (z-e k ) -1-1 l k ,

abgesehen von einem Pole, in P 0 überall endlich und nicht Null. Für das Verhalten im Pole ist die Ordnung

2 ν=2- 1 n 1-1 l k

maßgebend. Die -ν 2-te Potenz z 2 jenes Produktes hat nur noch einen Nullpunkt erster Ordnung und ist eine unverzweigte Form φ ν , die als “Primform” eingeführt wird.

Besitzt die Form (z 1 e k )=z 1 e k (2) -z 2 e k (1) in der Ecke e k =e k (1) e k (2) einen Nullpunkt der Ordnung l k , so ist auch Z k =(z,e k ) l k eine unverzweigte Form, die “Grundform” heißt. Allgemein ändert sich eine Form φ d gegenüber einer Substitution U um einen gewissen Exponentialfaktor μ. Für die Gruppen der regulären Körper gelangt man zu drei Grundformen, die mit den Fuchsschen “Primformen” übereinstimmen.

Die Prim- und Grundformen dienen, obwohl selbst mehrdeutig, als Grundlage der eindeutigen automorphen Formen. Dabei heißt φ d eindeutig, wenn der Faktor μ von der Wahl des Weges der Argumente ζ 1 ,ζ 2 unabhängig ist. Einem Produkt von U gehört als Multiplikator das Produkt der einzelnen Multiplikatoren zu; den n “Erzeugenden” U 1 ,U 2 ,,U n entspricht somit ein “Multiplikatorsystem”

M=(μ 1 ,μ 2 ,,μ n ),

wo die μ gewisse Einheitswurzeln sind (μ i li =(-1) d ). Die für eine gegebene Gruppe 𝛤 möglichen Systeme M bilden eine Abelsche Gruppe, wodurch sich die Anzahl der M bestimmen läßt. Die Frage nach der Existenz einem System M zugehöriger automorpher Formen wird gelöst durch Darstellung aller unverzweigten φ d (für p=0) durch die Primformen z 1 ,z 2 (wo z 1 =zz 2 ) und die Grundformen Z. Im besondern existieren für jedes gerade d “eigentliche” φ d d. h. zum System μ k =1 gehörige, die also gegenüber allen U absolut invariant sind. Ein “inverses” Multiplikatorsystem M ¯ besitzt die μ k ¯=1 μ k zu Multiplikatoren. Man wählt zweckmäßig die zugehörigen Dimensionen d,d ¯ so, daß d+d ¯+2=0 wird. Nunmehr werden auch die polymorphen Funktionen ζ=f(z) mittels “erlaubter” Variabeln z 1 ,z 2 homogen gemacht; ζ=f(z) spaltet sich in ζ 1 =ζζ 2 :

ζ 1 =f 1 (z 1 ,z 2 ),ζ 2 =f 2 (z 1 ,z 2 ),woζ 2 =C1 dζ dzz 2 1 n (z,e κ ) -1 21-1 l κ ·

Riemann wählt statt der ζ 1 ,ζ 2 die Ausdrücke nullter Dimension:

Z 1 =ζ dζ dz,Z 2 =1 dζ dz·

Eine einzelne Form Z der Schar AZ 1 +BZ 2 deckt sich mit der “Riemannschen P-Funktion”. Die Formen jener Schar genügen einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung. Die Theorie der ζ 1 ,ζ 2 bietet den Vorteil, daß sie gegenüber den linearen Substitutionen der z 1 ,z 2 den Charakter der Invarianz besitzt.

Das dritte Kapitel ist der Theorie der “Poincaréschen Reihen” gewidmet, die übrigens im wesentlichen gleich für ein beliebiges Geschlecht p entwickelt wird. Man hat den Ansatz:

φ d = κ μ κ -1 H d (α κ ζ 1 +β κ ζ 2 ,γ κ ζ 1 +δ κ ζ 2 )= κ μ κ -1 H d (ζ 1 (κ) ,ζ 2 (κ) ),

wo H d (ζ 1 ,ζ 2 ) eine homogene rationale Funktion der Dimension d bedeutet, summiert über alle Substitutionen U κ von 𝛤. Für die absolute und gleichmäßige Konvergenz dieser Reihe in der Umgebung einer beliebigen Stelle ζ 0 von N werden zwei Beweise gegeben, deren Grundzüge von Poincaré selbst (für Hauptkreisgruppen) ausgeführt sind.

Das Prinzip des einen Beweises läßt sich in die anschauliche Form kleiden, daß man aus N eine unendliche Anzahl von Teilbereichen herausgreift, deren Inhaltssumme doch eine endliche ist.

Die konvergente Reihe liefert dann eine eindeutige automorphe Form φ d bei vorgeschriebenem Multiplikatorsystem M und gegebener Dimension d, wo d der Beschränkung unterliegt, ganzzahlig und -4 zu sein. Es handelt sich nur um den Ausschluß der Möglichkeit, daß jene Reihe identisch verschwindet; dies findet sicher nicht statt, wenn die Reihe in P 0 wenigstens einen Pol besitzt. Daher werden die einpoligen Reihen einer eingehenderen Untersuchung unterzogen; bedeutet H d+1 (ζ 1 ,ζ 2 ) eine rationale Form, deren Pole außerhalb N liegen, so wird eine solche Reihe durch

κ μ κ -1 H d+1 (ζ 1 (κ) ,ζ 2 (κ) ) (ζ (κ) ,ξ)

geliefert mit dem Pole ξ=(ζ 1 ,ζ 2 ).

Für parabolische Ecken bedarf es der Einführung der “Elementarformen” 𝛺(ζ 1 ,ζ 2 ;ξ 1 ,ξ 2 ), die aus der obigen Reihe durch Zusatz des Faktors 1 H d+1 (ξ 1 ,ξ 2 ) hervorgeht. Neben ζ 1 ,ζ 2 werden nunmehr auch ξ 1 ,ξ 2 als beweglich angesehen; iusbesondere kann sich ξ einer parabolischen Spitze nähern. Die Form 𝛺 ist in gewissen Fällen auch eine automorphe Form der ξ 1 ,ξ 2 ; wichtiger hingegen sind nach Poincaré die in den ξ nicht automorphen 𝛺. Hier läßt sich eine Substitution U i von 𝛤, die 𝛺 in 𝛺 i überführe, so wählen, daß 𝛺 i -𝛺 in der Tat eine polfreie und nicht identisch verschwindende Reihe wird. Nunmehr wird an das wichtige Problem herangegangen, eine beliebige automorphe Form durch die 𝛺 und damit durch Poincarésche Reihen darzustellen. Dies geschieht durch ein geeignetes lineares Aggregat von Formen 𝛺. Die 𝛺 treten zuerst bei Poincaré als “élément simple” auf und sind dann von Ritter sowie von den Verfassern formentheoretisch weiter ausgebildet.

Das vierte und letzte Kapitel beschäftigt sich mit Ausdehnungen auf ein beliebiges Geschlecht p. Mit Hülfe eines Normalintegrals dritter Gattung wird eine Primform aufgestellt; sowohl von Klein wie von Ritter stammt eine bemerkenswerte Gestalt derselben her.

Sodann werden die polymorphen Formen untersucht. Es werden zwei Formen der Dimension 1-p gewonnen, deren Quotient ζ ist, und die bei erlaubten z 1 ,z 2 stets nur erlaubte Werte annehmen. Will man ζ auf die allgemeinste Art in zwei derartige Formen spalten, so hat man ζ 1 ,ζ 2 noch mit einem Exponentialfaktor e c 0 +c 1 W1++c p W p zu versehen, wo die W ein System überall endlicher Normalintegrale sind. Wie früher, ergeben sich auch jetzt für die polymorphen Formen lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung in invarianter Gestalt.

Sodann werden alle unverzweigten automorphen Formen φ d (ζ 1 ,ζ 2 ) von 𝛤 durch Prim- und Grundformen dargestellt. Zu jedem theoretisch möglichen Multiplikatorsystem M von 𝛤 und zu jeder Dimension d gehören in der Tat eindeutige automorphe Formen φ d .

Schließlich werden auch die Poincareschen Reihen und Elementarformen für beliebiges p entwickelt. Für jedes d-2 und zugehörige M existieren polfreie, nicht identisch verschwindende Poincarésche Reihen.

MSC:
30F35Fuchsian groups and automorphic functions
30F40Kleinian groups