zbMATH — the first resource for mathematics

Examples
Geometry Search for the term Geometry in any field. Queries are case-independent.
Funct* Wildcard queries are specified by * (e.g. functions, functorial, etc.). Otherwise the search is exact.
"Topological group" Phrases (multi-words) should be set in "straight quotation marks".
au: Bourbaki & ti: Algebra Search for author and title. The and-operator & is default and can be omitted.
Chebyshev | Tschebyscheff The or-operator | allows to search for Chebyshev or Tschebyscheff.
"Quasi* map*" py: 1989 The resulting documents have publication year 1989.
so: Eur* J* Mat* Soc* cc: 14 Search for publications in a particular source with a Mathematics Subject Classification code (cc) in 14.
"Partial diff* eq*" ! elliptic The not-operator ! eliminates all results containing the word elliptic.
dt: b & au: Hilbert The document type is set to books; alternatively: j for journal articles, a for book articles.
py: 2000-2015 cc: (94A | 11T) Number ranges are accepted. Terms can be grouped within (parentheses).
la: chinese Find documents in a given language. ISO 639-1 language codes can also be used.

Operators
a & b logic and
a | b logic or
!ab logic not
abc* right wildcard
"ab c" phrase
(ab c) parentheses
Fields
any anywhere an internal document identifier
au author, editor ai internal author identifier
ti title la language
so source ab review, abstract
py publication year rv reviewer
cc MSC code ut uncontrolled term
dt document type (j: journal article; b: book; a: book article)
Sur la nature analytique des solutions des équations aux dérivées partielles du second ordre. (French) JFM 35.0354.01

Bei Gelegenheit des internationalen Mathematikerkongresses in Paris wurde von Hilbert folgendes Theorem ausgesprochen: Ist z eine Funktion von x und y, deren Ableitungen bis zur dritten Ordnung endlich und stetig sind, und genügt sie der partiellen Differentialgleichung vom elliptischen Typus

F 2 z x 2 , 2 z xy, 2 z y 2 ,z x,z y,x,y,z=0,

worin F eine analytische Funktion ist, so ist z eine analytische Funktion. Der Zweck der vorliegenden Arbeit ist, dieses Theorem zu beweisen.

Im ersten Kapitel wird die Picardsche Methode, die in einem speziellen Falle zum Ziele führt, auseinandergesetzt und ihre Anwendung auf die von Lütkemeyer: Über den analyt. Charakt. der Integrale von part. Diff. (Diss. Gött.; F. d. M. 33, 360, 1902, JFM 33.0360.02) und Holmgren (Math. Ann. 57, 409-420; F. d. M. 34, 385, 1903, siehe JFM 34.0385.01 u. JFM 34.0385.02) behandelten Fälle besprochen. Dieses Verfahren wird einer Modifikation unterworfen, um es für den allgemeinen Fall anwendbar zu machen. Durch Benutzung einer neuen Form von Reihen, die im zweiten Kapitel behandelt werden, wird die anfängliche Schwierigkeit überwunden und im dritten Kapitel das Hilbertsche Theorem für den speziellen Fall

z 2 z x 2 + 2 z y 2 =0(z>0)

bewiesen. Im vierten Kapitel wird der allgemeine Fall behandelt, und es werden einige Betrachtungen über das Dirichletsche Problem angefügt. Im letzten Kapitel wird als Ergänzung der positiven Ergebnisse im Falle des elliptischen Typus gezeigt, daß die beiden Differentialgleichungen vom hyperbolischen, resp. parabolischen Typus:

2 z xy=fx,y,z,z x,z y

und

2 z x 2 =ϕx,y,z,z x,z y

nicht analytische Lösungen zulassen, und zwar die erste in bezug auf x und y, während die Lösungen der zweiten in bezug auf x analytisch sind, aber nicht in bezug auf y.


References:
[1]Voir surtout: “Journal de l’École Polytechnique” 1890 et “Acta Mathematica” 1902.
[2]Em. Picard “Traité d’Analyse” t. II. Ch. I, § 3.
[3]Voir, par exemple, M. Hurwitz “Sur les applications géométriques etc.” Annales de l’École Normale 1902.
[4]Voir Em. Picard “Sur la généralisation du problème de Dirichlet” Acta Mathematica 1902.
[5]Traité d’analyse t. II, Ch. I, p. 24.
[6]Je n’insiste pas sur les généralisations dont le résultat obtenu est évidemment susceptible pour des équations d’ordre quelconque à coefficients complexes dans un espace àn dimensions. Une note fondamentale de M. Picard (C. R. t. CXXI) devrait servir de base à une étude de ce genre.
[7]Voir Em. Picard “Théorie des équations aux dérivées partielles” Journal de Mathématiques 1890.