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Über eine besondere Dirichletsche Reihe. (German) JFM 37.0434.01

Die Tatsache, daß eine symmetrische Funktion derjenigen Zweige einer mehrdeutigen Funktion, die man bei Umlaufung eines Verzweigungspunktes erhält, in der Umgebung dieses Punktes eindeutig ist, läßt sich dazu benutzen, um für einige Funktionen, die mit der Riemannschen Zetafunktion eng verwandt sind, Transformationsformeln und für diese Funktion selbst eine neue Darstellung zu gewinnen. Man erkennt nämlich auf diese Art, daß die Funktion

(1)𝛷(x,s)= - + (l(x)+2kπi) -s

in dem Gebiete, das aus der x-Ebene durch Ausscheidung der Strecke (01) auf der reellen Achse entsteht, eindeutig ist. Hieraus ergibt sich für 𝛷(x,s) die außerhalb des Einheitskreises gültige Entwicklung:

(2)𝛷(x,s)=1 𝛤(s) 1 ν s-1 x -ν ,

aus der man eine für jedes x brauchbare Darstellung mittels der Funktionalgleichung

(3)𝛷(x,s) x=-s x𝛷(x,s+1)

gewinnt, nämlich:

(4)𝛷(x,s)= - + [(l(x)+2kπi) -s -(l(a)+2kπi) -s ]+1 𝛤(s)a -ν ν s-1 ,

wo die Konstante a nur der Bedingung |a|>1 unterworfen ist. Die Gleichung (4) zeigt, daß die Funktion

(5)𝛷 1 (x,s)=𝛷(x,s)-(l(x)) -s

in der Umgebung der Stelle x=1 einen regulären Zweig hat, der aus dem durch (2) definierten Zweige von 𝛷(x,s) hervorgeht und sich nach ganzen Potenzen von 1-x entwickeln läßt. Als konstantes Glied dieser Entwicklung findet man

(6)𝛷 1 (1,s)=2(2π) -s cosπs 2ζ(s),

und da auch

(7)𝛷 1 (1,s)=1 𝛤(s)·ζ(1-s)

ist, so erhält man aus (6) und (7) die bekannte Riemannsche Gleichung. Auch die erste Riemannsche Darstellung der Zetafunktion durch ein bestimmtes Integral läßt sich aus (5) mittels des Cauchyschen Integrals ableiten. Es ist nämlich

(8)𝛷 1 (1,s)=1 2πi(l(x)) -s dx 1-x;

das Integral ist über eine die Strecke (01) einmal umlaufende, geschlossene Kurve zu erstrecken. Integriert man aber über den um den Punkt x=1 beschriebenen Einheitskreis, so erhält man die neue Darstellung

(9)ζ(1-s)=𝛤(s) 2π -π +π (l(1+e iφ )) -s dφ·