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Sur l’uniformisation des fonctions analytiques. (French) JFM 38.0452.02

Im Jahre 1883 hatte Poincaré den fundamentalen Satz ausgesprochen, daß jede analytische, nicht eindeutige Funktion y von x durch Einführung einer neuen Veränderlichen t mittels der Gleichungen y=f(t), x=g(t) dargestellt werden könne, wo f(t) und g(t) eindeutige Funktion von t sind (F. d. M. 15, 384, 1883, JFM 15.0384.01). Der Beweis, den Poincaré skizziert hatte, bedarf jedoch an verschiedenen Stellen der genaueren Ausführung.

Erstens sollen sich die uniformisierenden Funktionen f(t) und g(t) an jeder Stelle der Riemannschen Fläche, an der die gegebene Funktion y von x existiert, regulär verhalten. Zweifelhaft bleiben jedoch drei Punkte, die Hilbert (1900) als Ausnahmestellen bezeichnet hat. Dies beruht darauf, daß bei dem Beweise als Hülfsfunktion die Umkehrung einer Fuchsschen Funktion benutzt wird, die für jene drei Punkte nicht existiert. Um die Ausnahmepunkte zu beseitigen, gibt es zwei Wege: man kann die Hülfsfunktion durch eine andere ersetzen, die nicht auf eine solche Schwierigkeit führt, was in § 4 der vorliegenden Abhandlung geschieht; oder man kann die Einführung einer Hülfsfunktion ganz vermeiden, wie in §§ 13, 14 gezeigt wird.

Zweitens hatte Poincaré zwar bewiesen, daß man die betreffende Riemannsche Fläche konform auf ein Gebiet abbilden könne, das im Innern eines Kreises liegt; aber man ersah daraus noch nicht, daß dieses auch für einen Kreis möglich war. Diese Schwierigkeit, die bereits von Osgood behoben worden war, wird in § 8 behandelt.

Drittens gibt es unzählig viele Arten, eine gegebene Funktion y von x zu uniformisieren, und es fragt sich, ob die Methode von Poincaré auf die einfachste, die in hohem Grade willkürlich ist, bringt ein künstliches Element in die Darstellung, von dem man sich befreien sollte. Dazu mußte bewiesen werden, daß sich jede einfach zusammenhängende Riemannsche Fläche auf einen Kreis oder auf eine punktierte Kugel abbilden läßt; es war also das Dirichletsche Problem für eine Riemannsche Fläche mit unendlich vielen Blättern zu lösen. Hierfür lassen sich jedoch die Gebietes nicht unmittelbar bestimmt sind und man vielmehr zu ihrer Bestimmung eine unendliche Reihe von Annäherungen nötig hat. Der Beweis gestaltet sich daher sehr umständlich und erfordert große Vorsicht.