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Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven. Zweite Mitteilung. (German) JFM 38.0455.02

Der Verf. teilt einen neuen Beweis des von ihm zum ersten Male in der oben besprochenen Arbeit “Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven” bewiesenen allgemeinen Abbildungssatzes für einfach zusammenhängende Bereiche mit. Dieser Beweis ist mit einem von Poincaré (Acta Math. 34, Referat vorstehend S. 452 (JFM 38.0452.02)) veröffentlichten Beweise dieses Satzes verwandt.

Ist B der abzubildende Bereich, so wird aus diesem Bereiche zunächst ein einfach zusammenhängendes, etwa kreisförmiges Stück ausgeschnitten, so daß ein zweifach zusammenhängender Bereich B 1 mit wenigstens einer regulären geschlossen Begrenzungslinie übrig bleibt, über welchem durch Überlagung eine relativ zu B 1 unendlich-vielblättrige einfach zusammenhängende Fläche B 1 () ausgebreitet werden kann. Nachdem die Existenz der zu B 1 gehörenden Greenschen Funktion bewiesen ist, wird dieselbe als eine Majorante zur Bildung der zu B 1 () gehörenden Greenschen Funktion benutzt. Dadurch ergibt sich eine konforme Abbildung der Fläche B 1 () auf die schlichte Fläche des Einheitskreises, von welcher durch elementare Funktionen zu einer Abbildung der Fläche B 1 auf die schlichte Fläche eines Kreisrings übergegangen wird, dessen einer Begrenzungskreis sich unter Umständen auf einen Punkt reduziert. Durch eine Anwendung der Schwarzschen Methode der “gürtelförmigen Verschmelzung” ergibt sich nunmehr eine konforme Abbildung der Fläche B selbst auf eine schlichte Kreisfläche mit endlichen oder unendlich großem Radius.

Besitzt der Bereich B in irgend einem seiner Blätter ein analytisches Begrenzungsstück, so zeigt der Verf., daß bei der Abbildung stets der Fall der endlichen Kreisfläche eintritt, und daß dem analytischen Begrenzungsstück in regulär analytischer Weise ein Stück der Kreisperipherie entspricht. In Ecken und Spitzen der Begrenzung von B findet Stetigkeit der Abbildung statt.