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Studii sui punti singolari essenziali delle funzioni analitiche di due o più variabili complesse. (Italian) JFM 41.0487.01

Für die singulären Punkte der analytischen Funktionen von mehr als einer Veränderlichen hatte Hartogs eine Reihe bemerkenswerter Sätze aufgestellt (F. d. M. 36, 483, 1905, JFM 36.0483.01, JFM 36.0483.02; 37, 443-444, 1906, JFM 37.0443.01; 40, 472, 1909, JFM 40.0472.01). Dem Verf. ist es gelungen, auf diesem Gebiete erhebliche Fortschritte zu machen. Um darüber zu berichten, empfiehlt es sich, zwei Benennungen einzuführen, die auch für andere Zwecke nützlich sein werden.

Die Stellen, wo sich eine eindeutige analytische Funktion f(z 1 ,z 2 ,,z n ) regulär verhält, bilden in dem euklidischen Raume E 2n , der zur Darstellung der Wertsysteme z 1 ,z 2 ,,z n dient, einen zusammenhängenden 2n-fach ausgedehnten Bereich, der als “Regularitätsbereich” von f bezeichnet werde. Dieser Bereich R 2n ist notwendig begrenzt. Die Punkte der Begrenzung heißen die singulären Punkte der Funktion, und man unterscheidet zwischen außerwesentlich und wesentlich singulären Punkten, je nachdem sich f in der Umgebung eines solchen Punktes a 1 ,a 2 ,,a n als Quotient zweier gewöhnlichen Potenzreihen von z 1 -a 1 ,z 2 -a 2 ,,z n -a n darstellen läßt oder nicht. Durch Hinzunahme der außerwesentlich singulären Punkte zum Regularitätsbereich entsteht ein 2n-fach ausgedehnter Bereich, in dem sich die Funktion f überall wie eine rationale Funktion verhält; er möge als “Meromorphiebereich” M 2n bezeichnet werden. Falls die rationalen Funktionen ausgeschlossen werden, ist auch der Meromorphiebereich notwendig begrenzt (Satz von Weierstraß bewiesen von Hurwitz, F. d. M. 15, 321, 1883).

Der Einfachheit halber soll im folgenden immer nur von Funktionen der zwei unabhängigen Veränderlichen x,y gesprochen werden; die Betrachtungen lassen sich jedoch ohne Schwierigkeit auf Funktionen von n Veränderlichen ausdehnen.

Zunächst wird der bemerkenswerte Satz bewiesen: Damit eine Funktion f(x,y), die sich in einem Gebiete

|x|δ,k 1 |y|k 2

regulär verhält, in dem Gebiete

|x|δ,|y|k 1

meromorph ist, müssen in der Laurentschen Entwicklung

f(x,y)= - + g n (x)y n

die Koeffizienten g n (x) so beschaffen sein, daß es eine endliche Anzahl l+1 von analytischen Funktionen A 0 (x),A 1 (x),,A l (x) gibt, für die identisch die Gleichungen bestehen:

A 0 (x)g n-l (x)+A 1 (x)g n-l+1 (x)++A l (x)g n (x)=0,

wenn n irgendeine negative ganze Zahl bedeutet, Null ausgeschlossen. Diese Bedingung ist notwendig und hinreichend.

Hieraus folgt der Satz: Wenn die eindeutige analytische Funktion f(x,y) im Punkte (0,0) eine wesentliche Singularität besitzt, aber für die Punkte einer gewissen Umgebung x=0,|y|k dieses Punktes sich meromorph verhält, so läßt sich immer, wenn eine beliebig kleine Zahl ε vorgegeben ist, eine solche Zahl δ finden, daß in jeder Ebene x=x 0 , wo |x 0 |<δ ist, wenigstens ein wesentlich singulärer Punkt mit einem |y|ε existiert. Während man also früher nur wußte, daß die Gesamtheit der wesentlich und außerwesentlich singulären Punkte von f(x,y) zusammengenommen eine perfekte Menge bildet, gilt dies auch für die Menge der wesentlich singulären Punkte.

Der soeben ausgesprochene Satz läßt sich dadurch erweitern, daß an die Stelle der Ebenen x=x 0 eine reguläre analytische Familie “charakteristischer” Flächen tritt; nach dem Vorgange von Levi-Civita (F. d. M. 36, 482, 1905) werden unter charakteristischen Flächen des E 4 solche zweifach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten verstanden, die durch eine Gleichung ϕ(x,y)=0 erklärt werden.

Hiermit ist die Grundlage für die weiteren Betrachtungen gewonnen, in denen der Verf. zeigt, daß die Sätze, die Hartogs für Regularitätsbereiche bewiesen hatte, sinngemäß auf Meromorphiebereiche übertragen werden können. Im besonderen gilt der Satz, daß eine Funktion f(x,y), die sich auf der Begrenzung eines vierfach ausgedehnten geschlossenen Gebietes meromorph verhält, auch im Innern des Gebietes meromorph ist. Hieraus geht hervor, daß der Meromorphiebereich eine eindeutige analytische Funktion von mehr als einer Veränderlichen nicht Lückenräume haben kann, die ganz im Endlichen liegen, und daß daher ein Satz von Weierstraß, der, wie bereits Osgood bemerkt hatte (Enzyklopädie der math. Wissenschaften Bd. II, Teil 1, S. 112, Anm. 260), nicht bewiesen war, einer Einschränkung bedarf; Weierstraß hatte nämlich behauptet (Werke 2, 129), wenn aus dem Gebiete von n komplexen Veränderlichen z 1 ,z 2 ,,z n auf irgendeine Weise ein 2n-fach ausgedehntes Kontinuum ausgeschieden werde, so ließen sich stets eindeutige Funktionen von z 1 ,z 2 ,,z n bestimmen, welche sich an allen Stellen im Innern des Kontinuums, aber an keiner Stelle seiner Begrenzung wie rationale Funktionen verhalten; es träten also die wesentlich singulären Stellen einer eindeutigen Funktion von n Veränderlichen nicht notwendig vereinzelt auf, vielmehr könnte jedes im Gebiete von n komplexen Größen mögliche Gebilde der Ort solcher Stellen sein.

Der “Ort der wesentlich singulären Punkte”, also die “Begrenzung des Meromorphiebereichs”, ist jedoch noch weiteren Einschränkungen unterworfen. Es muß nämlich in jedem Punkte dieser als “natürliche Grenze” auftretenden dreidimensionalen Mannigfaltigkeit eine gewisse Differentialungleichheit erfüllt sein, die bei Levi eine ziemlich verwickelte, unübersichtliche Gestalt hat. Nach einer Bemerkung von Blumenthal (Verhandlungen der Gesellschaft deutscher Naturforscher und Ärzte, 83. Versammlung, 1911, zweiter Teil, erste Hälfte, S. 5) läßt sie sich folgendermaßen deuten. Es sei

z 1 =x 1 +iy 1 ,z 2 =x 2 +iy 2 ·

Wählt man nun für den betrachteten Punkt die Veränderlichen x,y so, daß x 1 =0 die Tangentialebene der Begrenzungsmannigfaltigkeit wird und für das Innere des Meromorphiegebietes x 1 >0 ist, so darf der Ausdruck

Δ(x 1 )= 2 x 1 y 1 2 + 2 x 1 y 2 2

längs der Begrenzungsmannigfaltigkeit niemals negativ werden. Mithin können nur dann zu beiden Seiten der Mannigfaltigkeit Funktionen f(z 1 ,z 2 ) existieren, die diese zur natürlichen Grenze haben, wenn Δ(x 1 ) in allen ihren Punkten verschwindet; im anderen Falle aber kann eine solche Funktion nur auf derjenigen Seite existieren, die Δ(x 1 ) positiv macht.

Die Bedingung für das Vorzeichen von Δ(x 1 ) ist notwendig. Ob sie auch hinreichend ist, muß dahingestellt bleiben. Für den besonderen Fall, daß Δ(x 1 ) verschwindet, beweist Levi, daß sich für jedes hinreichend kleine Stück einer solchen Mannigfaltigkeit x 1 =F(x 2 ;y 1 ,y 2 ) analytische Funktionen f(z 1 ,z 2 ) herstellen lassen, die nur auf einer der beiden Seiten der Mannigfaltigkeit existieren und diese zur natürlichen Grenze haben. In einer späteren Abhandlung (Annali di Mat. (3) 18 (1911)) hat Levi einen ähnlichen Satz für den allgemeinen Fall bewiesen, woraus folgt, daß die Überflächen, die zur Begrenzung eines Meromorphiebereichs dienen, keinen weiteren Differentialungleichheiten unterworfen sind. Damit ist jedoch nur nachgewiesen, daß hinreichend kleine Stücke dieser Grenzmannigfaltigkeiten durch die Bedingung Δ(x 1 )0 charakterisiert sind, dagegen bleibt noch zu untersuchen, welchen Bedingungen Meromorphiebereiche im großen unterliegen.