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Über die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene lineare Substitutionen. (German) JFM 42.0154.02

Unter den Kollineationsgruppen, die der symmetrischen Gruppe 𝔖 n oder der alternierenden Gruppe 𝔄 n mit n Vertauschungsziffern isomorph sind, nehmen diejenigen eine besondere Stellung ein, die sich als Gruppen von n!, bzw. n! 2 homogenen linearen Substitutionen schreiben lassen. Diese Gruppen haben bereits Frobenius (Berl. Ber. 1900, 516; ebenda 1901, 303 und 1903, 328) und der Verfasser (Inaug.- Dissertation, Berlin 1901 und Berl. Ber. 1908, 664) aufgestellt. Die übrigen in Betracht kommenden Kollineationsgruppen, die mit 𝔖 n (g) , bzw. 𝔄 n (g) bezeichnet werden, bestimmt der Vef. in der vorliegenden Arbeit.

Für n<4 existieren solche Gruppen überhaupt nicht. Ist aber n4, so ist die Anzahl der nicht ineinander linear transformierbaren irreduziblen Gruppen 𝔖 n (g) gleich der Anzahl v n der Zerlegungen

(ν)n=ν 1 +ν 2 ++ν m (ν 1 >ν 2 >>ν m >0)

von n in voneinander verschiedene ganzzahlige Summanden, und zwar entspricht der Zerlegung (ν) eine irreduzible Gruppe 𝔖 n (g) des Grades

f ν 1 ,ν 2 ,,ν m =2 n-m 2 n! ν 1 !ν 2 ν m ! α<β ν α -ν β ν α +ν β ·

Hierbei ist unter dem Grad einer Kollineationsgruppe die Anzahl der Variabeln in den zugehörigen homogenen linearen Substitutionen zu verstehen. Die der Zerlegung n=n entsprechende Gruppe 𝔖 n (g) des Grades f n =2 n-1 2 hat bereits Wiman (Math. Ann. 52, 243) angegeben. Für n=6 sind die beiden Gruppen der Grade f n =4 und f 3,2,1 =4 als nicht voneinander verschieden anzusehen.

Bei der alternierenden Gruppe ist die Anzahl der wesentlich verschiedenen irreduziblen Gruppen 𝔄 n (g) für n=4 gleich 1 und für n>4 wie bei der Gruppe 𝔖 n gleich v n . Die der Zerlegung (ν) entsprechende irreduzible Gruppe 𝔄 n (g) ist, wenn n-m ungerade ist, vom Grade f ν 1 ,ν 2 ,,ν m und, wenn n-m eine gerade Zahl wird, vom Grade 1 2f ν 1 ,ν 2 ,,ν m . Diese allgemeinen Regeln erleiden jedoch eine Ausnahme für n=6 und n=7. Zunächst sind von den v 6 =4 eben erwähnten Gruppen 𝔄 6 (g) , deren Grade gleich 4, 4, 8, 10 sind, die beiden Gruppen des Grades 4 als identisch anzusehen; außer den übrigbleibenden drei Gruppen gibt es aber noch sechs andere irreduzible Gruppen 𝔄 6 (g) der Grade 3, 6, 6, 9, 12, 15. Für n=7 kommen zu den v 7 =5 dem allgemeinen Fall entsprechenden Gruppen noch elf andere irreduzible Gruppen 𝔄 7 (g) der Grade 6, 6, 15, 15, 21, 21, 24, 24, 24, 24, 36 hinzu.

Jede Gruppe 𝔖 n (g) und 𝔄 n (g) läßt sich als Gruppe von 2·n!, bzw. 2·n! 2 homogenen linearen Substitutionen schreiben. Diese Regel versagt nur für die Gruppen 𝔄 6 und 𝔄 7 ; hier kann die Mindestanzahl der homogenen Substitutionen, in denen eine Gruppe 𝔄 n (g) (n=6,7) geschrieben werden kann, auch gleich 3·n! 2 oder 6·n! 2 sein.

Diese Resultate gewinnt der Verf., indem er die Darstellungsgruppen von 𝔖 n und 𝔄 n bestimmt und die Charaktere dieser Gruppen berechnet.