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Über die gegenseitige Beziehung der Ränder bei der konformen Abbildung des Inneren einer Jordan schen Kurve auf einen Kreis. (German) JFM 44.0757.01

Der Verf. beweist den zuerst von Osgood (Am. Math. Soc. Bull. (2) 9, 233-235, 1903) aufgestellten, allerdings damals noch nicht ausführlich von Osgood bewiesenen (vgl. die neuere Arbeit Osgood-Taylor; Referat auf S. 753) Satz, daß bei konformer Abbildung eines schlichten, von einer Jordan - Kurve begrenzten, einfach zusammenhängenden Bereichs auf die Fläche eines Kreises die Abbildungsfunktion auch auf der Begrenzung des Bereiches noch stetig ist und eine eineindeutige Abbildung der Begrenzungslinie auf die Peripherie des Einheitskreises liefert. Als Hauptgrundlage der Beweisführung dient ein Satz von Fatou, welcher seinerseits auf einem Satze von Lebesgue beruht.

Satz von Fatou “Ist die eindeutige analytische Funktion f(z) für |z|<1 regulär und beschränkt, so gibt es auf dem Einheitskreise |z|=1 überall dicht liegende Punkte, für die, bei Annäherung längs eines Radius des Kreises, die Funktion f(z) gegen einen bestimmten Wert konvergiert”

Man übersieht, wie das Osgood-Carathéodory sche Resultat dazu dienen kann, die Randwertaufgabe der Potentialtheorie für einfach zusammenhängende Bereiche zu lösen, die von einer Jordan - Kurve begrenzt sind.

References:
[1]S. z. B. meine ?Untersuchungen ?ber die konformen Abbildungen von festen und ver?nderlichen Gebieten? [Math. Ann. 72, S. 107-144] S. 144.
[2]a) ?ber die Integration der partiellen Differentialgleichung 2 u x 2 + 2 u y 2 =0 [Berl. Ber. 1870, S. 767-795, Ges. Abh. II, S. 144-171]. b) Zur Integration der partiellen Differentialgleichung 2 u x 2 + 2 u y 2 =0 [J. f. Math. 74 (1872), S. 113-128; Ges. Abh. II, S. 175-210].
[3]Sur la th?orie de la repr?sentation conforme [C. R. 1891, 1er sem. S. 653]. Vgl. auch die vor kurzem erschienene Diss. von E. A. Hintikka ??ber das Verhalten der Abbildungsfunktion auf dem Rande des Bereiches in der konformen Abbildung? (Helsingfors 1912).
[4]Sur le probl?me de Dirichlet et son extension au cas de l’?quation g?n?rale du second ordre [Annales de Toulouse VI (1892), H. S. 1-85].
[5]Allgemeine Theorie der analytischen Funktionen [Enc. d. Math. Wiss. II B 1, Art. 19, S. 56].
[6]Int?grale, Longueur, Aire [Annali di Matematica (3) 7 (1902), S. 231-359.] Le?ons sur l’Int?gration et la recherche des fonctions primitives [Paris, Gauthiers-Villars, S. 1-136].
[7]S?ries trigonom?triques et s?ries de Taylor [Acta Math. 30, S. 335-400].
[8]F?r den Beweis dieses Satzes verweise ich auf die oben zitierten Arbeiten von Lebesgue und au?erdem ganz besonders auf den Cours d’Analyse Infinit?simale von Ch. de la Vall?e Poussin (2o ?dition) I, S. 269.
[9]Einen ?u?erst einfachen direkten Beweis des in Frage kommenden Resultates hat Herr G. Faber in seinen sch?nen Untersuchungen ??ber stetige Funktionen? [Mat. Ann. 69 (1910), S. 372-443] S. 381 gegeben. Ein leicht zu verbesserndes Versehen des Herrn Faber auf S. 385 seiner Abhandlung ist so offenbar, da? es auch ein wenig aufmerksamer Leser bemerken mu?. · Zbl 02633770 · doi:10.1007/BF01456327
[10]cf. die ? 50-51 meiner im n?chsten Hefte erscheinenden Arbeit.
[11]Schwarz hat sein Theorem mit Hilfe des Cauchyschen Integralsatzes bewiesen. Man sieht aber leicht ein, da? der Poincar?sche Unit?tssatz (S. z. B. meine Arbeit Math. Ann. 72, S. 107, ? 5), der noch elementarerer Natur ist, eine analoge Schlu?weise erm?glicht.
[12]F?r den einfachsten bekannten Beweis dieses Satzes siehe Brouwer, Math.
[13]Cf. Brouwer, a. a. O., Math. Ann. 69, S. 173.
[14]Osgood, [Trans. Am. Math. Soc. I (1900), S. 310, 314.] Vgl. auch meine Arbeit Math. Ann. 72 [S. 107-144], S. 111.