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Über ganzwertige ganze Funktionen. (German) JFM 45.0655.02

Eine ganze Funktion g(x) heißt ganzwertig, wenn die Werte g(n) (n=0,±1,±2,) ganz und rational sind. Für das Wachstum einer solchen Funktion gelten Sätze, wie die folgenden. Es habe M(r) die übliche Bedeutung und es sei

lim r= loglogM(r) logr=ϱ

(Wachstum von g(x))· Ist dann ϱ=0, so reduziert sich g(x) notwendigerweise auf ein Polynom. Es tritt dies sogar ein, wenn

lim r= r 3 2 M(r) 3+5 2 r =0

ist. (Die Konstante 3+5 2 kann dabei nicht verbessert werden. )

Es gibt also keine ganzwertige Funktion mit 0<ϱ<1· Zu jedem ϱ1 läßt sich aber eine solche angeben; es können sogar ihre Werte

g(n)=y n (n=0,±1,±2,)

bis auf die Bedingung

lim n= ¯loglog|y n | log|n|=ϱ

beliebig vorgeschrieben werden.

Ist g(x) eine ganze Funktion und g(n) nur für nichtnegative ganzahlige n ganzwertig, so folgt aus

lim r= r 1 2 M(r) 2 r =0,

daß g(x) ein Polynom ist. – Die Funktion 2 x hat somit das kleinstmögliche Wachstum unter allen solchen ganzen Funktionen.