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Introduction à la géométrie non-euclidienne. (French) JFM 48.0633.03
Paris: J. Hermann, 433 S. 8 (1922).

Das vorliegende, mit vorbildlicher Sorgfalt, Gründlichkeit und Genauigkeit abgefaßte Werk stellt sich zur Aufgabe, die Grundlehren der nichteuklidischen Geometrie, losgelöst vom historischen Werdegang, in systematischer Weise darzustellen. Dasselbe Ziel verfolgt das 1909 erschienene Buch von J. L. Coolidge (F. d. M. 40, 522 (JFM 40.0522.*)-523), an welches sich das hier betrachtete Werk vielfach anlehnt. Doch während bei Coolidge auf engem Raum all die mannigfaltigen Richtungen und Gesichtspunkte der modernen nichteuklidischen Geometrie Berücksichtigung finden, weshalb die Darstellung, nicht selten auf Kosten der Genauigkeit und Übersichtlichkeit, knapp gehalten werden mußte, schränkt der Verf. von vornherein seine Aufgabe wesentlich ein, indem er z. B. auf alle differentialgeometrischen Betrachtungen verzichtet, und kann darum auf dem ihm zu Gebote stehenden Raum in behaglicher Breite alle Einzelheiten des Themas eingehend beleuchten. Das Buch eignet sich wie kaum ein zweites zu einer ersten Einführung in dieses für einen noch uneingeweihten Leser begrifflich nicht ganz einfache Gebiet, das voll größter Schönheiten ist.

Was den Inhalt im einzelnen betrifft, so enthält das erste Kapitel (S. 9-25) die Axiome der Euklidischen Geometrie im Sinne von Hilbert nebst einem Beweise ihrer Widerspruchslosigkeit. Das vom Verf. gewählte System von Axiomen weicht teilweise von dem bekannten Hilbertschen ab: für das Archimedische Axiom und das Hilbertsche Axiom der Vollständigkeit setzt der Verf. das Dedekindsche Stetigkeitsaxiom ein. Das zweite Kapitel (S. 26-34) bringt die Axiome der “allgemeinen” Geometrie (géométrie générale) nebst dem Beweis ihrer Widerspruchslosigkeit. Das nächstfolgende Kapitel (S. 35-61) ist dem Beweis einer Anzahl von Fundamentalsätzen (meist Existenzsätzen), zum Teil im Anschluß an Hilbert, gewidmet. In dem vierten Kapitel (S. 62-93) wird zunächst mit der größten Sorgfalt die Theorie des Maßes von Strecken und Winkeln entwickelt, worauf in dem folgenden fünften Kapitel (S. 94-124) die für die späteren Betrachtungen unentbehrlichen Grenzwertsätze abgeleitet werden. Es folgen: Bewegungstransformationen (transformations congruentes) (Kapitel VI, S. 125-136), die drei Hypothesen über die Summe der Innenwinkel eines gleichschenkligen Vierecks mit zwei rechten Winkeln (Kap. VII, S. 137-150). Das achte Kapitel (S. 151-190) bringt die Grundlehren der projektiven Geometrie, worauf als Nutzanwendung im neunten Kapitel (S. 191-201) die Widerspruchslosigkeit der Grundannahmen der hyperbolischen Geometrie dargetan wird. Um das gleiche für die Grundannahmen der elliptischen Geometrie zu erreichen, werden zunächst im X. Kapitel (S. 202-222) einige einführende Betrachtungen über den n-dimensionalen Euklidischen Raum gegeben, worauf im XI. Kapitel (S. 223-237) der eigentliche Beweis der Widerspruchslosigkeit durchgerührt wird. Der Inhalt der folgenden Kapitel ist aus den Überschriften ersichtlich: Kap. XII (S. 238-252) – Winkelsumme eines unendlich kleinen Dreiecks, Kap. XIII (S. 253-284) – Parameter der absoluten Geometrie (Raumkrümmung), Kap. XIV (S. 285-319) – Trigonometrie, Kap. XV (S. 320-355) – analytische Geometrie, Kap. XVI (S. 356-433) – der vollständige Raum der hyperbolischen, euklidischen und elliptischen Geometrie.

Wie schon erwähnt, wird in dem vorliegenden Werk auf differentialgeometrische Betrachtungen verzichtet. Die Lektüre setzt darum lediglich die Kenntnis einiger Haupteigenschaften der Determinanten, der Elemente der analytischen Geometrie und der algebraischen Analysis voraus. Wie aus den vorstehenden Inhaltsangabe ersichtlich, bringt das Werk von Mac Leod nur einen in sich abgeschlossenen Ausschnitt aus dem Gesamtgebiet der nichteuklidischen Geometrie, kann darum einem Nichtkenner eine umfassende Vorstellung von dem jetzigen Stande dieses Wissenszweiges nicht vermitteln. Die eingangs charakterisierte engere Aufgabe, die sich der Verf. eigentlich gestellt hatte, hat er freilich glänzend gelöst. Die Lektüre des leicht geschriebenen Werkes gestaltet sich für jeden Freund einer scharfen begrifflichen Analyse zu einem wirklichen Genuß.