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Über stochastische Asymptoten und Grenzwerte. (German) JFM 51.0380.03
Metron 5, Nr. 3, 3-89 (1925).

Verf. beabsichtigt eine Neubegründung der Wahrscheinlichkeitslehre oder, wie er sagt, der Stochastik. Sei x eine “zufällige” Variable, die mit einer “unabhängigen” Variablen ϕ “stochastisch” verbunden sei. Die Funktion v=f(ϕ) heißt dann stochastische Asymptote, wenn die Wahrscheinlichkeit, daß x(ϕ n ) von v(ϕ n ) um weniger als ein positives ε abweicht, mit wachsendem n gegen Null geht. Der Zusammenhang zwischen ϕ und x ist dabei so gedacht, daß jedem Wert von ϕ eine Wahrscheinlichkeitsverteilung von x zugeordnet ist. Wie unbefriedigend diese Grundlegung ist, bemerkt man am besten, wenn man die Voraussetzung, daß die Verteilung von x abhängig von ϕ ist, fallen läßt. Es geht aus den Erörterungen nicht klar hervor, ob die Definition auf einer vorangegangenen (aber nicht angeführten) Definition der Wahrscheinlichkeit fußen, oder ob sie den Wahrscheinlichkeitsbegriff implizit liefern soll. Im ersten Fall dürfte sie wohl mit jedem vernünftig gefaßten Wahrscheinlichkeitsbegriff in Widerspruch stehen, im zweiten Fall würde sie für eine Begründung der Wahrscheinlichkeitsrechnung kaum ausreichen, da sie nicht einmal das Multiplikationsgesetz liefert. Wie es Verf. gelingt zu beweisen, daß (unter gewissen Voraussetzungen) die relative Häufigkeit eines Ereignisses gegen seine Wahrscheinlichkeit konvergiert, bleibt ganz unklar.

Verf. setzt sich polemisch mit vorliegenden Systemen zur Grundlegung der Wahrscheinlichkeitsrechnung auseinander. Gegen die Erklärung der Wahrscheinlichkeit als Grenzwert der relativen Häufigkeit macht Verf. den folgenden unverständlichen Einwand: Daß die Differenz zwischen beiden Größen von genügend großen Versuchszahlen an dem Betrag nach kleiner als ein vorgegebenes ε>0 ist, hat zur Folge, daß die Wahrscheinlichkeit dafür, daß diese Differenz dem Betrag nach größer als ε ist, Null wird, was in der Tat unvernünftig ist.

Die Kapitelüberschriften der Arbeit lauten: Einleitung. Über mathematische Erwartungen. Über hinreichende und notwendige Bedingungen des Bestandes der stochastischen Asymptoten und Grenzwerte. Über stochastische Asymptoten und Grenzwerte der zufällig variablen Vektoren. Über stochastische Grenzwerte der zufälligen Variablen, die Funktionen anderer zufälliger Größen sind.