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Zur formalen Theorie der Funktionen von mehr komplexen Veränderlichen. (German) JFM 52.0342.03

Das Ziel der Arbeit besteht darin, die Funktionen von n komplexen Veränderlichen auf Mannigfaltigkeiten M m von m Dimensionen (m>n) des 2n-dimensionalen Raumes, ausgehend von den partiellen Differentialgleichungen, zu charakterisieren. Setzt man

z γ =1 2 x 2γ-1 i x 2γ und z ¯ γ =1 2 x 2γ-1 + i x 2γ ,

so lauten die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

𝛷 z ¯ γ =0,𝛷 ¯ z γ =0·

Verf. beweist nun, ausgehend von diesen Gleichungen, einen bekannten Satz von Levi-Civita (1905; F. d. M. 36, 482 (JFM 36.0482.*)), daß auf M n in R 2n eine analytische Funktion F willkürlich vorgegeben werden kann, wenn man sich auf eine genügend kleine Umgebung beschränkt und sowohl die Koordinaten der M n , wie auch die auf ihr vorgeschriebenen Werte von F als reguläre Funktionen von n reellen Parametern gegeben werden. Ausgenommen werden dabei die “charakteristischen” analytischen Mannigfaltigkeiten.

Nunmehr geht Verf. auf die Frage nach den Differentialgleichungen ein, welche für eine in Parameterdarstellung gegebene M 2n-1 in R 2n erfüllt sein müssen, damit auf ihr der reelle Teil einer analytischen Funktion verschwindet. Ist U dieser Realteil, so muß er sich in der Form U=𝛷(z α )+𝛹(z ¯ α ) darstellen lassen; sowohl d𝛷=U z α dz α wie d𝛹=U z α dz ¯ α sind vollständige Differentiale. Drückt man nun z α und z ¯ γ durch die Koordinaten t λ aus, durch welche M 2n-1 in Parameterdarstellung z α =z α (t 1 ,,t 2n-1 ), z ¯ γ =z ¯ γ (t 1 ,,t 2n-1 ) gegeben ist, so folgen aus der Tatsache, daß die genannten Ausdrücke vollständige Differentiale sind, für U gewisse partielle Differentialgleichungen. Im Falle, daß n=2 und M 3 in der Form ϕ(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )=0 gegeben ist, erhält man (ϕ)=0, wo

(ϕ)=-160ϕ z 1 ϕ z 2 ϕ z ¯ 1 2 ϕ z 1 z ¯ 1 2 ϕ z 2 z ¯ 1 ϕ z ¯ 2 2 ϕ z 1 z ¯ 2 2 ϕ z 2 z ¯ 2

der Levische Ausdruck ist (1910; F. d. M. 41, 487 (JFM 41.0487.*)-489). (ϕ) ist gegenüber pseudokonformen Abbildungen eine Integralinvariante; eine analoge Integralinvariante gibt Verf. für den Fall von n Veränderlichen an.

Ist nun 𝛷 der Realteil einer analytischen Funktion, der auf der Mannigfaltigkeit M m :z γ =z γ (t 1 ,,t m ) (γ=1,2,,n) betrachtet wird, so ist die Bedingung dafür, daß 𝛷 als Funktion der z γ allein (und damit 𝛷 ¯ als Funktion der z ¯ γ ) dargestellt werden kann, die, daß die Determinanten der Matrix

𝛷 t λ z γ t λ

und ebenso die der konjugierten verschwinden. Man erhält auf diesem Wege ein vollständiges System vom m-n partiellen Differentialgleichungen (und damit auch das konjugierte System), welche die Funktionen von n komplexen Veränderlichen, die auf M m gegeben sind, definieren.

Um – ähnlich wie Riemann – die Funktionen unabhängig von ihrer Ausdrucksweise zu definieren, will Verf. die Funktionen als Lösungen von Extremumaufgaben darstellen. Das einfachste Integral, das gegenüber einer konformen Transformation invariant bleibt, nämlich f zf ¯ z ¯dzdz ¯, stimmt im Wesentlichen mit dem von Riemann zugrunde gelegten Integral überein. Die Euler-Lagrangeschen Gleichungen lauten

2 f zz ¯=0und 2 f ¯ zz ¯=0,

d. h. f ist eine analytische Funktion von z. Verlangt man dann, daß die Funktion gewisse Unstetigkeits- und Randbedingungen erfüllt, so ist f z und 0 z df zdz dz eine analytische Funktion, die zum ursprünglichen Problem in engster Beziehung steht. Man kann nun, ausgehend von weiteren Integralinvarianten, denselben Weg einschlagen bzw. einen entsprechenden Ansatz für den Fall von mehreren Veränderlichen benutzen, um ähnlich wie Riemann gewisse Funktionen zu definieren. Die Untersuchmungen sind aber viel schwieriger als im Falle einer Veränderlichen, und Verf. geht auf diese Fragen nicht näher ein.


References:
[1]Rendiconti della Reale Academia dei Lincei, Roma14 (1905, 20 sem.), p. 492 ff.
[2]Annali di matematica (3)17 (1909), pg. 61 und18 pg. 69. Man vergleiche dazu auch Bertil Almer, Sur quelques probl?mes de la th?orie des fonctions analytiques de deux variables complexes. Th?se pour le Doctorat, Upsala 1922, ? 4, pg. 29ff.
[3]Dissertation ? 19ff.; Werke 2. Aufl., S. 35 ff.
[4]Dissertation ? 16; Werke 2. Aufl., S. 30.