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Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik. (German) JFM 54.0486.01

Die Arbeit beschäftigt sich mit denjenigen Differenzengleichungen, die aus den klassischen linearen partiellen Differentialgleichungen entstehen, indem man die Differentialquotienten durch die entsprechenden Differenzenquotienten ersetzt.

Im ersten Teil der Arbeit wird für selbstadjungierte elliptische Differenzengleichungen mittels elementarer algebraischer Überlegungen die Theorie des Randwertproblems (sowohl für homogene als auch für unhomogene Gleichung) und des Eigenwertproblems durchgeführt. Diese Resultate gestatten eine einfache Anwendung auf eine wahrscheinlichkeitstheoretische Frage beim Problem der Irrwege in einem rechtwinkligen Straßennetz eines beschränken Gebietes.

An dem Beispiel der Potentialgleichung wird gezeigt, wie sich die Lösung der Randwertaufgabe verhält, wenn die Maschenweite des Gitters gegen Null konvergiert. Es zeigt sich, daß in jedem ganz im Innern des betrachteten Gebietes gelegenen Teilgebiet die Lösungsfunktion samt allen Differenzenquotienten gleichmäßig gegen eine beliebig oft differenzierbare Funktion strebt, die der gestellten Randbedingung genügt. (Die Annahme der Randwerte wird nicht in dem üblichen strengen Sinne, sondern nur “im Mittel” gefordert.) Derselbe Konvergenzbeweis wird für das Randwertproblem von ΔΔ=0 erbracht.

Der zweite Teil der Arbeit handelt von dem Anfangswertproblem bei hyperbolischen Differenzengleichungen, insbesondere von der Frage, ob bei Verfeinerung der Mascheneinteilung die Lösung des Differenzenproblems gegen die des kontinuierlichen Problems strebt. Das Resultat läß t sich für u tt u xx =0, u(0,x) und u t (0,x) vorgegeben, so aussprechen: Legt man ein rechteckiges, achsenparalleles Gitter zugrunde, dessen Maschenweite in der tRichtung gleich h, in der x-Richtung gleich κh mit konstantem κ ist, so herrscht für κ<1 mit gegen Null konvergierendem h im allgemeinen keine Konvergenz; für κ1 hingegen konvergiert die Lösungsfunktion samt ihren beiden ersten Ableitungen gleichmäßig gegen die Lösung des Anfangswertproblems der Differentialgleichung.

In einem Anhang wird die der Wärmeleitungsgleichung entsprechende Differenzengleichung explizite gelöst; durch Grenzübergang ergibt sich daraus unmittelbar die Lösung des Differentialgleichungsproblems. – Es wird gezeigt, wie die für die einfachsten Differentialgleichungen angestellten Überlegungen ausreichen, um das Anfangswertproblem der allgemeinsten linearen hyperbolischen Differentialgleichung zu lösen.


References:
[1]Unsere Beweismethode l??t sich ohne Schwierigkeit so erweitern, da? sie bei beliebigen linearen elliptischen Differentialgleichungen das Rand- und Eigenwertproblem und bei beliebigen linearen hyperbolischen Differentialgleichungen das Anfangswertproblem zu l?sen gestattet.
[2]J. le Roux, Sur le probl?me de Dirichlet, Journ. de math?m. pur. et appl. (6)10 (1914), p. 189. R. G. D. Richardson, A new method in boundary problems for differential equations, Transactions of the Americ. Mathem. Soc.18 (1917), p. 489 ff. H. B. Philips and N. Wiener, Nets and the Dirichlet Problem, Publ. of the Mass. Institute of Technology (1925).
[3]Leider waren diese Abhandlungen dem ersten der drei Verfasser bei der Abfassung seiner Note ?Zur Theorie der partiellen Differenzengleichungen?, G?tt. Nachr. 23. X. 1925, an welche die vorliegende ARbeit anschlie?t, entgangen.
[4]Vgl. ferner: L. Lusternik, ?ber einige Anwendungen der direkten Methoden in der Variationsrechnung, Recueil de la Soci?t? Math?m. de Moscou, 1926. G. Bouligand, Sur le probl?me de Dirichlet, Ann. de la soc. polon. de math?m.4, Krakau 1926.
[5]?ber die Bedeutung des Differenzenansatzes und ?ber weitere sie verwendende Arbeiten vgl. R. Courant, ?ber direkte Methoden in der Variationsrechnung, Math. Annalen97, S. 711 und die dort angegebene Literatur.
[6]Bildet man zu einer beliebigen Differenzengleichung zweiter OrdnungL(u)=0, indem man sie als ein lineares Gleichungssystem auffa?t, das transponierte Gleichungs-system, so wird dieses durch die adjungierte DifferenzengleichungM(v)=0 dargestellt. Die oben betrachtete selbstadjungierte Differenzengleichung stellt also ein lineares Gleichungssystem mit symmetrischem Koeffizientenschema dar.
[7]Vergleiche f?r die wirkliche Durchf?hrung der L?sung unserer Randwertprobleme durch iterierende Verfahren u. a. die Abhandlung: ?ber Randwertaufgaben bei partiellen Differenzengleichungen von R. Courant, Zeitschr. f. angew. Mathematik u. Mechanik6 (1925), S. 322-325. Im ?brigen sei verwiesen auf den Bericht von H. Henky, Zeitschr. f. angew. Math. u. Mech.2 (1922), S. 58 ff. · doi:10.1002/zamm.19260060408
[8]Da? die Voraussetzungen f?r die Anwendungen dieses Satzes gegeben sind, ist sehr leicht einzusehen.
[9]F?r die Durchf?hrung des Grenz?berganges in ? 4 ist ? 3 entbehrlich.
[10]Gerade in der Art wie hier die Grenzen des Gebietes hineinspielen, liegt ein wesentlicher Unterschied der folgenden Betrachtung gegen?ber bekannten ?berlegungen, die z. B. im Zusammenhange mit der Brownschen Molekularbewegung durchgef?hrt worden sind.
[11]Ihre Konvergenz werden wir sogleich beweisen.
[12]Dabei ist dem Erreichen eines Fl?chenst?cks als Erwartungswert sein Fl?cheninhalt zugeschrieben.
[13]Es sei jedoch bemerkt, da? die Ausdehnung unserer Methoden auf allgemeinere-R?nder und Randwerte keinerlei prinzipielle Schwierigkeiten bereitet.
[14]Hier und gelegentlich im folgenden lassen wir bei Gitterfunktionen den Indexh fort.
[15]Ausdr?cklich bemerken wir im Hinblick auf die ?bertragung der Methode auf andere Differentialgleichungen, da? wir uns von dieser Eigenschaft unabh?ngig machen k?nnen. Dazu brauchen wir nur die Ungleichung (15) heranzuziehen oder die Schlu?weise der Alternative anzuwenden (vgl. S. 55).
[16]Hinsichtlich der Anwendung entsprechender Integralungleichungen vgl. K. Friedrichs, Die Rand.- und Eigenwertprobleme aus der Theorie der elastischen Platten, Math. Annalen98, S. 222.
[17]Es ist dann zugleich bewiesen, da? jede L?sung eines solchen Differentialgleichungsproblems Ableitungen jeder Ordnung besitzt.
[18]Vgl. Courant-Hilbert, Methoden der mathematischen Physik,1, Kap. III, ? 3, wo mit Hilfe einer entsprechenden Alternative die Theorie der Integralgleichungen behandelt wird. Vgl. auch die demn?chst erscheinende G?ttinger Dissertation von W. v. Koppenfels.
[19]Da? die Randwerte f?r Funktion und Ableitungen tats?chlich angenommen werden, l??t sich unschwer zeigen. Vgl. die entsprechenden Betrachtungen bei K. Friedrichs loc. cit. Die Rand.- und Eigenwertprobleme aus der Theorie der elastischen Platten, Math. Annalen98, S. 222.
[20]Zum folgenden vgl. K. Friedrichs und H. Lewy, ?ber die Eindeutigkeit usw., Math. Annalen (98 1928), S. 192 ff., wo analoge Umformungen f?r Integrale benutzt werden. · Zbl 02582463 · doi:10.1007/BF01451589
[21]Es ist das Gitter gerade so gew?hlt, da? die Differenzen vonu zwischen den beiden Fl?chenF nicht mehr auftreten.
[22]Vgl. zum Beweise die verwandte Ungleichung S. 64 unten.
[23]Diese Voraussetzung und die ?ber die Differenzierbarkeit der Koeffizienten der Differentialgleichung und ferner die Beschr?nkung auf eine gen?gend kleine Umgebung der Anfangsgeraden lassen sich in Sonderf?llen mildern.