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Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls. (German) JFM 56.0046.04

Verf. überträgt Bernays’ axiomatische Untersuchung des Aussagenkalküls (Axiomatische Untersuchung des Aussagen-Kalküls der “Principia Mathematica”; M. Z. 25 (1926), 305-320; F. d. M. 52) auf den sog. engeren Funktionenkalkül (vgl. Hubert-Ackermann, 1928; F. d. M. 54, 55 (JFM 54.0055.*)). Zugrunde gelegt werden als Prämisse sechs formale Axiome, die im wesentlichen mit denen der Principia Mathematica übereinstimmen, und abgesondert davon vier Schlußregeln. Die Vollständigkeit des Axiomensystems wird in folgender Form bewiesen: Jede Formel A des engeren Funktionenkalküls ist entweder im abzählbaren Individuenbereich erfüllbar, oder ihre Negation A ¯ ist ableitbar. Dabei wird A ¯ ¯=A benutzt. Den Beweis des Vollstäudigkeitssatzes führt Verf. durch vollständige Induktion: Er reduziert den allgemeinen Fall auf den gewisser Normalformen, für die er mit Hilfe der Sättigungsoperationen einen Grad definiert, der die Durchführung des Induktionsschlusses gestattet.

Erweitert man unter Beibehaltung der Schlußregeln das Axiomensystem um den Begriff der Identität, so gilt auch für diesen weiteren Bereich der Vollständigkeitssatz. Desgleichen gilt folgende Verallgemeinerung: Jede abzählbar unendliche Menge von Formeln des engeren Funktionenkalküls ist entweder erfüllbar, oder sie besitzt ein endliches Teilsystem, dessen logisches Produkt widerlegbar ist. Der Satz folgt aus dem anfangs bewiesenen Vollständigkeitssatz durch die Reduktion darauf, daß jedes endliche Teilsystem des unendlichen Systems erfüllbar ist.

Schließlich wird Bernays’ Unabhängigkeitsbeweis auf das erweiterte Axiomensystem ausgedehnt.

References:
[1]Vgl. P. Bernays, Axiomatische Untersuchung des Aussagenkalküls der ”Principia Mathematica”. Math. Zeitschr. 25, 1926.
[2]Es stimmt (bis auf das von P. Bernays als überflüssig erwiesene associative principle) mit dem in Princ. Math., I, Nr. 1 und Nr. 10, gegebenen überein.
[3]Diese sind bei Russell-Whitehead nicht alle explizit formuliert, werden aber in den Deduktionen fortwährend verwendet.
[4]Ein analoger Satz gilt für v statt &.
[5]Vgl. Hilbert-Ackermann, Grundz. d. theor. Logik, III, § 8.
[6]Vgl. die in Fußnote 2) zitierte Arbeit P. Bernays, Axomatische Untersuchung des Aussagenkalküls der ”Principia Mathematica”. Math. Zeitschr. 25, 1926.
[7]"Erfüllbar” ohne Zusatz bedeutet hier und im folgenden immer: ”erfüllbar im abzählbaren Individuenbereich”. Dasselbe gilt für ”allgemeingültig”.
[8]Die Variablenx, y sollen in (P) nicht vorkommen.
[9]Im selben Sinn wird der Terminus ”Grad eines Präfixes” verwendet.
[10]Ein analoges Verfahren hat Th. Skolem zum Beweise des Löwenheimschen Satzes verwendet. Vidersk. Skrifter, Christiania 1920.
[11]Daß ein System {f 1,f 2...f k ;w 1,w 2...w l } Teil eines anderen {g 1,g 2...g k ;v 1,v 2...v l } ist, soll bedeuten, daß: 1. der Individuenbereich derf i Teil des Individuenbereiches derg i ist, 2. dief i undg i innerhalb des engeren Bereiches übereinstimmen, 3. für jedesi v i =w i ist.
[12]Falls inA auch Aussagevariable vorkommen, muß natürlichS außer Funktionen noch Wahrheitswerte für diese Aussagevariablen enthalten.
[13]Und zwar in einem höchstens abzählbaren Denkbereich (er besteht ja aus elementfremden Klassen des abzählbaren Individuenbereichs Σ).
[14]Als Beixpiel kann etwa das Hilbertsche Axiomensystem der Geometrie ohne die Stetigkeitsaxiome dienen.
[15]Vgl. die in Fußnote 2) zitierte Arbeit.
[16]D. h. die einstelligen FunktionsvariablenF,G... etc. mit einem vorgesetzten Alloperator, dessen Wirkungsbereich lediglich das betreffendeF, G... mit der zugehörigen Individuenvariablen ist.