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Über die Verteilung der Zahlen, die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind. (German) JFM 57.0186.02
Commentationes Helsingfors 5, Nr. 25, 37 S (1931).

Ist p n die n-te Primzahl,

P n = ν=1 n p ν ,

bezeichnet ferner q ν (n) die ν-te zu P n teilerfremde Zahl, so gilt (A. Brauer, H. Zeitz; 1930; F. d. M. 56 I , 156): Für jedes ε>0 läßt sich eine Zahl n 0 =n 0 (ε) so angeben, daß es für alle n>n 0 stets (4-ε)p n aufeinanderfolgende ganze Zahlen gibt, die zu P n sämtlich nicht teilerfremd sind, daß also

Max(q ν+1 (n) -q ν (n) )>(4-ε)p n (1)

ist. Hieraus folgt, daß es unendlich viele Primzahlen p m gibt, für die

p m+1 -p m >(4-ε)logp m (2)

ist. Diese beiden Resultate werden vom Verf. wesentlich verschärft, indem er zeigt:

2 n-1 ν=1 n p ν p ν -1Max(q ν+1 (n) -q ν (n) )>(2-ε)e C loglogp n logloglogp n p n ,(3)

wo C die Eulersche Konstante ist. Aus (3) folgt, daß es unendlich viele Primzahlen p m gibt, für die

p m+1 -p m >(2-ε)e C logloglogp m loglogloglogp m logp m

ist. Ferner wird die analoge Frage behandelt, wenn die q ν (n) nicht die zu den ersten n Primzahlen teilerfremden Zahlen, sondern die zu irgend welchen n Primzahlen p 1 ' ,p 2 ' ,,p n ' teilerfremden Zahlen bedeuten. (III 8.)