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Imaginäre quadratische Zahlkörper mit der Klassenzahl 1. (German) JFM 59.0946.03

Durch Hecke-Landau weiß man, daß die Klassenzahl h D des imaginär-quadratischen Zahlkörpers K D mit der Diskriminante – D größer als b(a)D logD nud somit insbesondere nur endlich oft h D =1 ist, wenn die zugehörige L-Funktion

L D (S)= n=1 -D n1 n 8

auf der reellen Strecke 1-a logDs<1 von Null verschiden ist. Hier wird ein überraschender Zusammenhang zwischen dem Verhalten von h D und den nicht-reellen Nullstellen der gewöhnlichen Riemannschen ζ-Funktion ζ(s)= n=1 1 n s entwickelt. Es wird nämlich bewiesen, daß, wenn es unendlich viele D mit h D =1 gibt, die folgenden Tatsachen gelten: Alle nicht-reellen Nullstellen von ζ(s)

haben den Realteil 1 2 Riemannsche Vermutung),

sind einfach,

nud für jede solche Nullstelle 1 2+it ist in der Folge aller D mit h D =1

lim D D it =-(4π) it Γ(1 2-it)ζ(1-2it) Γ(1 2+it)ζ(1+2it),
lim D L D (1 2+it) logD=-ζ(1+2it) ζ ' (1 2+it)·

Die Beweise beruhen auf einer asymptotischen Entwicklung der Dedekindschen ζ-Funktion

ζ Q (S)= m,n ' 1 (am 2 +bmn+cn 2 ) 8 (4ac-b 2 =D,a>0)

einer Idealklasse des quadratischen Zahlkörpers K D , bei der das Hauptglied lautet:

1 a 8 ζ(2s)+a s-1 D 4 1 2-s π 1 2 ζ(2s-1)Γ(s-1 2) Γ(s)

und der Rest R Q (s) für σ=s>0 und t 1 =Max(1,|𝔍s|)πD 18a asymptotisch in D und a abgeschätzt wird.

Unablhängig von der Existenz unendlich vieler D mit h D =1 wird noch bewiesen, daß diese D ν jedenfalls so selten sind, daß logD ν+1 >cD 4 ν-1 mit einer positiven Konstanten c ist.

Verf. schreibt übrigens in den Formlen durchweg d für D 4; in den beiden obigen Limersrelationen hat er versehentlich die Minuszeichen vor den Ausdrückten auf der rechten Seite ausgelassen.

Diese Arbeit hat den Anstoß und den entescheidenden Gedanken für eine spätere Arbeit von Heilbronn gegeben, in der die Gaußsche Vermutung h D für D bewiesen wird (1934; JFM 60.0155.*). (III 7.)