zbMATH — the first resource for mathematics

Examples
Geometry Search for the term Geometry in any field. Queries are case-independent.
Funct* Wildcard queries are specified by * (e.g. functions, functorial, etc.). Otherwise the search is exact.
"Topological group" Phrases (multi-words) should be set in "straight quotation marks".
au: Bourbaki & ti: Algebra Search for author and title. The and-operator & is default and can be omitted.
Chebyshev | Tschebyscheff The or-operator | allows to search for Chebyshev or Tschebyscheff.
"Quasi* map*" py: 1989 The resulting documents have publication year 1989.
so: Eur* J* Mat* Soc* cc: 14 Search for publications in a particular source with a Mathematics Subject Classification code (cc) in 14.
"Partial diff* eq*" ! elliptic The not-operator ! eliminates all results containing the word elliptic.
dt: b & au: Hilbert The document type is set to books; alternatively: j for journal articles, a for book articles.
py: 2000-2015 cc: (94A | 11T) Number ranges are accepted. Terms can be grouped within (parentheses).
la: chinese Find documents in a given language. ISO 639-1 language codes can also be used.

Operators
a & b logic and
a | b logic or
!ab logic not
abc* right wildcard
"ab c" phrase
(ab c) parentheses
Fields
any anywhere an internal document identifier
au author, editor ai internal author identifier
ti title la language
so source ab review, abstract
py publication year rv reviewer
cc MSC code ut uncontrolled term
dt document type (j: journal article; b: book; a: book article)
On the class-number in imaginary quadratic fields. (English) JFM 60.0155.01

Beweis von Gaußschen Vermutung G: Zu jeder vorgegebenen Klassenzahl H gibt es nur endlich viele imaginär-quadratische Zahlkörper P(d) (d<0 die Körperdiskriminante).

Da nach Hecke bekannt ist, daß dieser Satz unter der Annahme der Riemannschen Vermutung R für alle Dirichletschen L-Reihen L(s,χ) mit Charakterenχ der Ordnung Zwei richtig ist (RG), so genügt es, seine Richtigkeit auch unter der gegenteiligen Annahme R zu zeigen (R ¯G). Durch formale Umkehrung kommt dies darauf hinaus aus der Annahme G ¯ der Existenz unendlich vieler P(d) mit einer festen Klassenzahl H auf die Richtigkeit der Riemannschen Vermutung für alle genannten L(s,χ) zu schließen (G ¯R).

In dieser Richtung waren in neuester Zeit zwei Teilresultate gewonnen worden:

1. (Deuring, Imaginäre quadratische Zahlkörper mit der Klassenzahl 1. M. Z. 37 (1933), 405-415; F. d. M. 59 II ) Aus der Existenz unendlich vieler P(d) mit der Klassenzahl H=1 folgt die Richtigkeit der Riemannschen Vermutung für die Riemannsche ζ-Funktion ζ(s).

2. (Mordell, 1934; F. d. M. 60 I , 156) Aus der Existenz unendlich vieler P(d) mit irgendeiner festen Klassenzahl H folgt die Richtigkeit der Riemannschen Vermutung für ζ(s).

Die Beweise dieser Tatsachen beruhen auf einer asymptotischen Entwicklung der Dedekindschen ζ-Funktion

Z(s)=ζ(s)L(s,ψ)= 𝔫 1 N(𝔫) s

von P(d) (ψ der zu P(d) gehörige Dirichletsche Charakter ψ(n)=(d n) der Ordnung Zwei; 𝔫 durchläuft alle ganzen Ideale von P(d)) mittels der Euler-Maclaurinschen Summenformel. Verf. verallgemeinert diese Methode auf die aus den Charakteren χ der Ordnung Zwei von P durch Normübertragung auf P(d) entspringenden L-Reihen

Λ(s,χ)=L(s,χ)L(s,χψ)= 𝔫 χ(N(𝔫)) N(𝔫) s ·

Die asymptotische Entwicklung lautet hier:

Λ(s,χ)ζ(2s)· χ(p)=0 1-1 p 2s · i=1 H χ(N(𝔞 i )) N(𝔞 i ) s ·

Sie bezieht sich auf d- durch die Diskriminanten solcher Körper P(d), deren Klassenzahl den festen Wert H hat; s ist fest mit 2>(s)>1 2 gedacht; 𝔞 i durch läuft Repräsentantensystem von ganzen Idealen kleinster Norm aus den H Idealklassen vonP(d). Auf Grund des überwiegenden, leicht berechenbaren Beitrags der ambigen Idealklassen ergibt sich die asymptotische Abschätzung:

i=1 H χ(N(𝔞 i )) N(𝔞 i ) s 1 4H 2

für d- wie vorher und (s)1 2. Daraus folgt dann sofort, daß der von d unabhängige Faktor L(s,χ) von Λ(s,χ) für (s)>1 2 nicht verschwindet.