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Inequalities. (English) JFM 60.0169.01
XII + 314 p. Cambridge, University Press (1934).

Die neuzeitliche Abschätzungstechnik, deren Beherrschung für alle tieferen Fragen der “Präzisionsmathematik” jeder Art unerläßlich ist, beruht, natürlich nur was ihr erlehrbares Kernstück anlang, auf einer Reihe wichtiger Ungleichungen sehr allgemeiner Art. Diese in breiter und vollständiger Systematik zu erfassen, ist die in der Lehrbuchliteratur erstmalig verwirklichte Absicht der drei Verf., die ja gerade auf diesem Gebiete über eine besonders reiche Erfahrung verfügen. Dabei beschränken sie sich grundsätzlich auf solche Ungleichungen arithmetischer oder reell-analytischer Natur, die nicht zu speziellen Theorien gehörig, sondern ganz allgemein sind. So sind z. B. die Besselsche Ungleichung für Orthogonalsysteme, funktionentheoretische, zahlentheoretische und geometrische Ungleichungen ausgeschlossen. Andererseits freilich wird die Anwendung der allgemeinen Sätze nach den verschiedensten speziellen Richtungen hin immer wieder gezeigt.

Der Inhalt dieses eigenartigen Buches ist erstaunlich reichhaltig. Von den einfachsten, schon klassischen Ungleichungen bis zu ganz neuartigen und tiefliegenden Abschätzungen, von denen man ein Großteil den Verf. selbst verdankt, wird man kaum eine wichtige hierhergehöre Frage nicht behandelt finden. Die jedem Kapitel (es sind deren zehn) beigefügten zahlreichen Ergänzungsbeispiele, sowie ein sehr ausführlicher Literaturnachweis geben dem Buch einen geradezu handbuchartigen Charakter.

Dabei ist die darstellung, trotz oder vielleicht wegen ihrer straffen Präzision, durchaus leicht lesbar. Wo nicht-elementare Hilfsmittel (etwa Lebesguesches Integral, Variationsrechnung) herangezogen werden, findet der Leser alle benutzten Begriffe und Sätze ausführlich formuliert. Besonders bemerkt sei, daß für die wichtigsten Ungleichungen mehrere Beweisanordnungen gegeben sind, die dann untereinander verglichen werden. Überhaupt legen die Verf. Wert darauf, die Stellung der einzelnen Teile im Gesamtsystem immer wieder neu zu beleuchten.

Der Inhalt der einzelnen Kapitel kann nur in Stichworten angedeutet werden:

Kap. I: Die Verf. setzen ihr Ziel hinsichtlich Auswahl des Stoffes und der Beweismethoden auseinander.

Kap. II: Elementare Mittelbildungen aus endlich vielen Größen; arithmetisches Mittel, Potenzmittel, als Grenzfall das geometrische Mittel, Verallgemeinerung dieser Mittel durch “Gewichte”. Die Cauchysche Ungleichung allgemeiner die Höldersche Ungleichung, die klassische Beziehung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel (viele Beweise!), Verallgemeinerung auf zwei verschiedene Potenzmittel. Ungleichungen von Minkowski und Tschebychef; Hadamardscher Determinantensatz. Muirheads Satz über die Vergleichbarkeit allgemeinster Mittel, Ungleichungen zwischen elementarsymmetrischen Funktionen. Bemerkungen über kanonische Darstellungen positiver Formen in Richtung auf das Hilbertsche Problem (Darstellung durch Quadrate). Die Methoden dieses Kapitels sind im wesentlichen arithmetisch.

Kap. III: Verallgemeinerung der Potenzmittel durch Heranziehung anderer Funktionen als x r und logx (wie im Kap. II). Äquivalenz und Vergleichbarkeit solcher Mittel. Ausführliche Theorie der konvexen Funktionen. Neue Beleuchtung der Ungleichungen aus Kap. II und Verallgemeinerung derselben.

Kap. IV: Differential- und Integralrechnung als Quelle von Ungleichungen. Mittelwertsatz, Rollescher Satz, Taylorsche Reihe, Theorie der Maxima und Minima, elementare Integralabschätzungen werden herangezogen. Neue Beweise für viele Sätze aus Kap. II; besonders bemerkenswert der ganz kurze Beweis für die Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel aus e x >1+x.

Kapitel V: Ausdehnung der bisherigen Ergebnisse auf Mittel aus Folgen. Hier ist gewöhnlich nur der Fall des Gleichheitszeichens neu zu diskutieren.

Kap. VI: Integralmittel; das Lebesguesche Integral wird zugrunde gelegt. Schwarzsche Ungleichung, Höldersche Ungleichung und die sonstigen Übertragungen der “elementaren” Ungleichungen aus Kap. II und III auf Integralmittel. Charakteristische Eigenschaften von Integralmitteln.

Kap. VII. Die Variationsrechnung als Quelle von Ungleichungen, die Integrale über gewisse Funktionen von x,y,y ' betreffen. Die sehr interessanten Beispiele zeigen die Kraft, aber auch die Schwierigkeit (in der Beweisstrenge) der Methode. Bemerkenswert ist eine Modifikation des Hurwitzschen Beweises für das isoperimetrische Problem, die statt des Parsevalschen Satzes eine von Wirtinger stammende, elementar beweisbare Integralungleichung benutzt. Es folgen noch Integralungleichungen für zweimal differenzierbare Funktionen.

Kap. VIII: Eine fundamentale Ungleichung für multilineare Formen mit positiven Veränderlichen und Koeffizienten (aus der Hölderschen Ungleichung folgend), Spezialisierung und Ausdehnung auf mehrfache Integrale. Die Konvexität positiver Multilinearformen. Theorie der beschränkten Bilinearformen (Hilbertsche Räume). Die beiden Hilbertschen Bilinearformen. Der Satz von M. Riesz über die Konvexität allgemeiner Bilinearformen. Von Anwendungen sei die Hausdorffsche Ungleichung (Verallgemeinerung der Parsevalschen Gleichung in der Theorie der Fourierreihen) erwähnt.

Kap. IX: Hilbertsche Formen für allgemeine Hilbertsche Räume. Genaue Bestimmung der Schranken. Anwendungen auf Funktionentheorie und Momentenproblem. Es folgen weitere in diesen Zusammenhang gehörige neuartige arithmetische und Integralungleichungen, insbesondere von Hardy und Carlemann.

Kap. X: Untersuchungen über extremale Umordnungen von multilinearen Summen und Ausdehnung auf Integrale. (IV 2, 3 A, 3 B, 3 C, 7.)