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Ein mengentheoretischer Satz über die Gleichverteilung modulo Eins. (German) JFM 61.0205.01

Bekanntlich weiß man noch nicht, ob die Zahlen e x (x=1,2,) gleichverteilt mod 1 sind; Verf. beweist in dieser Richtung folgenden interessanten Satz: Für fast alle θ>1 ist θ x gleichverteilt mod 1. Dieser Satz ergibt sich durch Spezialisierung des folgenden allgemeineren Ergebnisses: Seien α und β zwei reelle, endliche Zahlen mit α<β; sei ferner f(x,θ) für jede natürliche Zahl x eine reelle stetige Funktion von θ für αθβ und habe

𝛷(x 1 ,x 2 ,θ)=f(x 1 ,θ)-f(x 2 ,θ)(αθβ)

für je zwei natürliche Zahlen x 1 und x 2 mit x 1 x 2 eine stetige Ableitung 𝛷 θ ' nach θ, die im Intervall αθβ monoton und ungleich Null ist. Wird

A N =1 N 2 x 1 =1 N x 2 =1 x 1 -1 Max|𝛷 θ ' (x 1 ,x 2 ,α)| -1 ,|𝛷 θ ' (x 1 ,x 2 ,β)| -1

für ganzes N2 gesetzt, so gebe es eine monoton wachsende Folge natürlicher Zahlen N 1 ,N 2 , mit

lim ν N ν+1 N ν 1,

für die die Reihe ν=1 A N ν konvergiert. Dann ist für fast alle θ aus αθβ die Zahlfolge

f(x,θ)(x=1,2,3,)

gleichverteilt mod 1.