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Généralisation de la théorie du corps de classes pour les extensions infinies. (French) JFM 62.1153.02

Sei k ein algebraischer Zahlkörper endlichen Grades. Die Klassenkörpertheorie charakterisiert jede abelsche Erweiterung K/k endlichen Grades durch eine aus Idealen von k bestehende Gruppe. Verf. gibt eine entsprechende Charakterisierung für die abelschen Erweiterungen K/k unendlichen Grades. Er stellt zunächst durch Hinweis auf das Beispiel des Körpers aller Einheitswurzeln von p-Potenzordnung (p feste Primzahl) fest, daß man zur Charakterisierung nicht einfach den Durchschnitt der zugeordneten Idealgruppen eines K/k aufbauenden Körperturms nehmen kann. Den richtigen Ansatz findet er vielmehr dadurch, daß er bereits in der endlichen Klassenkörpertheorie zur Charakterisierung Gruppen heranzieht, die statt aus Idealen aus einer neuen Art idealer Elemente bestehen. Dem Vorgange des Zbl. Ref. (Grunwald, Zbl. Math. Grenzgeb. 15 (1937), 151-152) folgend will ich diese neuartigen idealen Elemente auch hier Idele nennen. Ihre Verwendung statt der Ideale ergibt bereits für die endliche Klassenkörpertheorie eine willkommene begriffliche und sachliche Vereinfachung.

Der Begriff des Ideals entspringt aus der Nichterfüllbarkeit der Forderung, eine Zahl aus k zu finden, die für alle Primstellen 𝔭 von k vorgeschriebene Ordnungszahlen hat, wobei für fast alle 𝔭 die Ordnungszahl 0 vorgeschrieben ist. Verschärft man die durch die Ordnungszahlen ausgedrückten groben 𝔭-adischen Annäherungsvorschriften durch Vorschreiben der gesamten 𝔭-adischen Entwicklungen, so entspringt der vom Verf. neu eingeführte Begriff des idealen Elements (Idels). Diese werden nämlich erklärt als die Systeme 𝔞=(a 𝔭 ), deren einzelne Komponenten a 𝔭 Elemente 0 aus den sämtlichen 𝔭-adischen Erweiterungen von k sind, mit der Einschränkung, daß a 𝔭 für fast alle 𝔭 Einheit ist (die Ordnungszahl 0 hat). Dabei sind auch die unendlichen Primstellen einbezogen; Einheit für eine solche bedeutet nur 0. Diese Idele bilden bei komponentenweiser Multiplikation eine abelsche Gruppe 𝔞, in der die Multiplikationsgruppe a von k in Gestalt der speziellen Systeme a=(a) (mit lauter gleichen Komponenten a0 aus k) als Untergruppe der Hauptidele vertreten ist. Idelklassen seien stets in bezug auf diese Untergruppe a als Hauptklasse verstanden. In naheliegender Weise wird die Relativnorm N K/k (𝔄) eines Idels 𝔄 einer endlich-algebraischen Erweiterung K/k als Idel von k erklärt. Ist 𝔪= 𝔭 𝔪 𝔭 ein Kongruenzmodul wie in der bisherigen Klassenkörpertheorie, so wird die Kongruenz 𝔞𝔟mod𝔪 für Idele durch

a 𝔭 b 𝔭 mod × 𝔪 𝔭 füralle𝔭mit𝔪 𝔭 1

erklärt. Daneben tritt die Überkongruenz 𝔞𝔟mod𝔪, erklärt durch

a 𝔭 b 𝔭 mod × 𝔪 𝔭 füralle𝔭

Mit dem Idealbegriff besteht folgender Zusammenhang: Die Gruppe der Idele 𝔢1mod1 hat mit k als Durchschnitt die Einheitengruppe von k, und die Klassen der Faktorgruppe 𝔞/𝔢 entsprechen isomorph den Idealen von k.

Verf. übersetzt nun durch einfache Überlegungen den Tatbestand der endlichen Klassenkörpertheorie aus der Sprache der Ideale in die Sprache der Idele. Das Übersetzungsergebnis ist folgendes: Die abelschen Erweiterungen K/k endlichen Grades entsprechen umkehrbar eindeutig den Kongruenzidelklassengruppen von k, d. h. denjenigen Idelklassengruppen, die einen Idelüberstrahl 𝔞1mod𝔪 enthalten (größtmögliches 𝔪= Führer 𝔣). Die K/k zugeordnete Idelklassengruppe besteht aus genau denjenigen Idelklassen, die Relativnormen von Idelen 𝔄 von K enthalten, ist also gegeben durch a·N K/k (𝔄). Die Faktorgruppe 𝔞/a·N K/k (𝔄) ist isomorph zur Galoisgruppe von K/k, und dieser Isomorphismus wird dargestellt durch das Produkt

(𝔞,K/k)= 𝔭 𝔞,K/k 𝔭= 𝔭 𝔞 𝔭 ,K/k 𝔭

der Normenrestsymbole für die sämtlichen Primstellen 𝔭. Das so definierte Symbol (𝔞,K/k) ist hier das Äquivalent des Artin-Symbols der bisherigen Theorie. Die Hilbertsche Produktformel erscheint als unmittelbare Folge der genannten Isomorphietatsache, nach der ja (a,K/k)=1 ist. Verf. bemerkt überdies, daß sich dieser Tatbestand auch direkt, ohne den Umweg über die idealtheoretische Begründung der Klassenkörpertheorie, herleiten läßt und daß sich dabei der Aufbau der Klassenkörpertheorie vereinfacht.

Von dieser neuen Gestalt der endlichen Klassenkörpertheorie ausgehend kann Verf. jetzt leicht den Übergang zur unendlichen Klassenkörpertheorie vollziehen. Er kann zunächst das Symbol (𝔞,K/k) für unendlichen Grad als Automorphismus von K/k eindeutig dadurch definieren, daß es für jeden Teilkörper K 0 /k endlichen Grades den Automorphismus (𝔞,K 0 /k) bewirkt, und erhält dann eine K/k zugeordnete Idelklassengruppe H als die Gesamtheit der Idele 𝔞 mit (𝔞,K/k)=1.

Für die Formulierung des Tatbestandes der Klassenkörpertheorie nimmt Verf. dann topologische Begriffsbildungen hinzu, nämlich einerseits die schon von Krull für die Übertragung der Galoisschen Theorie als wesentlich erkannte Topologie in der Galoisgruppe von K/k, und andrerseits eine Topologie in der Idelgruppe von k mit dem (auf die sämtlichen Primstellen erstreckten) Umgebungsbegriff 𝔵𝔞mod𝔪. Es ergibt sich, dann folgender klassenkörpertheoretische Tatbestand: Die sämtlichen abelschen Erweiterungen K/k entsprechen auf Grund der angegebenen Zuordnung umkehrbar eindeutig den topologisch-abgeschlossenen Idelklassengruppen H. Dabei ist die Faktorgruppe 𝔞/H topologisch-isomorph zu Galoisgruppe von K/k, und zwar liefert das Symbol (𝔞,K/k) einen topologischen Isomorphismus zwischen diesen Gruppen. An Stelle der für endlichen Grad bestehenden Kongruenzbedingung, daß H einen Idelüberstrahl enthält, tritt also bei Zulassung auch unendlichen Grades die Bedingung der topologischen Abgeschlossenheit. Es sei noch bemerkt, daß sich der Beweis des Existenzsatzes hier dadurch besonders einfach gestaltet, daß man die Klassenkörpereigenschaft des umfassendsten abelschen Körpers A/k heranzieht; die ihm zugeordnete Idelklassengruppe ist die topologisch-abgeschlossene Hülle a ¯ der Hauptidelgruppe a.