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Über Beziehungen zwischen höheren Kommutatoren. (German) JFM 63.0065.01

Verf. beweist zunächst den schon früher von ihm vermuteten und inzwischen von O. Grün (Über eine Faktorgruppe freier Gruppen, I, Deutsche Math. l (1936), 772-782; F. d. M. 62 II ) bewiesenen Satz, daß sich der freie Liesche Ring aus n Erzeugenden treu darstellen läßt im freien assoziativen Ring aus n Erzeugenden (vgl. auch E. Witt, J. reine angew. Math. 177 (1937), 152-160 und G. Birkhoff, Ann. Math., Princeton, (2)38 (1937), 526-532; F. d. M. 63 I , 89-90). Früher hatte Verf. schon gezeigt, daß aus diesem Satze folgt, daß die m-te Gruppe der absteigenden Zentralreihe der freien Gruppe 𝔉 n aus n Erzeugenden übereinstimmt mit der von ihm definierten m-ten Dimensionsgruppe (Math. Ann. 111 (1935), 259-280; JFM 61.0102.*). Ferner ergibt sich ein neuer Beweis der Hallschen Identität

(ab) p a p b p c p ( p ),

wobei p das p-te Glied der absteigenden Zentralreihe ist und c in der Kommutatorgruppe der von a und b erzeugten Gruppe liegt. – In der eben zitierten Arbeit des Verf. wird jedem Potenzprodukt aus 𝔉 n ein Gewicht zugeordnet (das Gewicht ist gleich der Dimension der nicht konstanten, von null verschiedenen Summanden niedrigster Dimension in der zugeordneten Potenzreihe). Sind c 1 ,c 2 zwei Elemente aus 𝔉 n mit den Gewichten w 1 ,w 2 , so gilt für das Gewicht w des Kommutators c 1 c 2 c 1 -1 c 2 -1 :

μ=w-w 1 -w 2 0,

wobei das Gleichheitszeichen dann und nur dann steht, wenn w 1 =w 2 und die aus c 1 und c 2 erzeugte Gruppe sich auch aus zwei Elementen c ¯ 1 ,c ¯ 2 mit den Gewichten w 1 ,w 2 +μ erzeugen läßt. (III 5 B.)