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Theory of the integral. (English) JFM 63.0183.05
2. ed. English translation by L. C. Young. With two additional notes by S. Banach. VI + 347 p. Warzawa, Lwów, Monografie Matematyczne, Tom VII. New York, G. E. Stechert (1937).

Gegenüber der ersten (französischen) Auflage (1933; JFM 59.0266.03) hat das Buch wesentliche Veränderungen in seinem Aufbau erfahren: Es setzt nunmehr mit der (früher im Anhang behandelten) Definition des Integrals in abstrakten Räumen ein und bringt dann die Maßdefinition von Carathéodory. Auf dieser allgemeinen Grundlage werden das Lebesgue-Stieltjessche Integral und Lebesgues Maßdefinition gewonnen. Es schließt dann gleich die Theorie der Derivierten von Mengen- und Intervallfunktionen an; Flächeninhalt, Perronsches und Denjoysches Integral und die Derivierten der Funktionen von einer und zwei reellen Veränderlichen bilden wie in der früheren Auflage den Inhalt der letzten Kapitel.

Neu ist ein Anhang von S. Banach über Integration in abstrakten Räumen, der ohne Maßtheorie auf Grund einer Anzahl naheliegender Axiome über die Eigenschaften des als “Integral” zu definierenden Funktionals so weit vordringt, daß als Anwendung die allgemeinste Definition des Lebesgueschen Integrals beschränkter Borelscher Funktionen im Hilbertschen Raum herauskommt, die an einem speziell gewählten Beispiel veranschaulicht wird.

Der in der ersten Auflage enthaltene Anhang über das Haarsche Maß (ebenfalls von S. Banach) ist im wesentlichen unverändert, aber in englischer Übersetzung wieder abgedruckt.