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Gewebe und Gruppen. (Topologische Fragen der Differentialgeometrie LXV.). (German) JFM 63.1157.04

Bei den Geweben (aus drei Scharen 1, 2, 3 von “Geraden”) spielen die folgenden Figuren eine Rolle. Die Figur R (Reidemeister) sieht aus wie die allgemeine Parallelprojektion eines Würfels, Figur S (Sechseck) wie ein regelmäßiges Sechseck mit den drei Hauptdiagonalen, und Figur T (Thomsen) wie ein allgemeineres Sechseck, bei dem aber doch noch jede Hauptdiagonale zwei Seiten parallel ist. Nach Auszeichnung eines Punktes und einer Schar kann man dem Gewebe einen Bereich 𝛤 mit einer beiderseits eindeutig umkehrbaren “Multiplikation” und mit Einselement zuordnen. Bekannt ist, daß der Bereich 𝛤 eine Gruppe ist, wenn die Figur R sich immer schließt, daß er eine kommutative Gruppe ist, wenn T sich immer schließt. Über S war nichts derart bekannt. Der Verf. untersucht, welche algebraischen Eigenschaften des Bereiches sich ergeben, wenn man Voraussetzungen macht über die Schließung derjenigen Figur U i , die aus R entsteht, wenn zwei der darin vorkommenden Geraden der i-ten Schar zusammenfallen. Schließen sich die Figuren U 1 bzw. U 2 immer, so gelten im Bereich 𝛤 die Regeln

a( b c ) b=( a b ) cbbzw.b ( c b )a=bc ( b a )·(1)

Schließen sich U 1 und U 2 , so schließt sich auch U 3 . Ein Bereich 𝛤 mit beiden Eigenschaften (1) heißt nach R. Moufang (Math. Ann., Berlin, 110 (1934), 416-430; JFM 60.0093.*) “Quasigruppe”. Umgekehrt gehört zu jeder Quasigruppe ein Gewebe, in dem sich die Figuren U i schließen. Die Punkte lassen sich als Drillinge (b 1 ,b 2 ,b 3 ) von Elementen von 𝛤 mit b 1 b 2 b 3 =e darstellen (Klammersetzung ist gleichgültig), derart daß b i = const. eine Gerade der Schar i ist. Ein Beispiel zeigt, daß auch eine kommutative Quasigruppe keine Gruppe (d. h. nicht assoziativ) zu sein braucht. Wechsel des zu Anfang ausgezeichneten Punktes führt zu abgeänderten Multiplikationen

xy=(xg)(g -1 y)

mit festem g. Sind diese alle identisch oder alle kommutativ, so ist 𝛤 eine Gruppe. Ein Nachtrag bringt ein Beispiel eines Gewebes, in dem sich U 1 aber nicht immer U 2 und U 3 schließen.

References:
[1]K. Reidemeister: Gewebe und Gruppen, Topologische Fragen der Differentialgeometrie 5, Math. Zeitschr.29 (1929), S. 427; G. Thomsen: Gewebe und Gruppen, Topologische Fragen der Differentialgeometrie 12, Hamb. Abhdl.7 (1929); K. Reidemeister, Grundlagen der Geometrie, Berlin und Leipzig 1930; H. Kneser, Gewebe und Gruppen, Topologische Fragen der Differentialgeometrie 43, Hamb. Abhdl.9 (1932). · Zbl 02578499 · doi:10.1007/BF01180540
[2]L. E. Dickson: Algebren und ihre Zahlentheorie, Zürich und Leipzig 1927, S. 264.
[3]M. Zorn: Theorie der alternativen Ringe, Hamb. Abhdl.8 (1930).
[4]R. Moufang, Zur Theorie der Alternativkörper, Math. Annalen110 (1934), S. 416–430; den Hinweis auf diese Arbeit verdanke ich Herrn O. Blumenthal. · doi:10.1007/BF01448037