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Grundlagen der Mathematik. Bd. II. (German) JFM 65.0021.02
XII + 498 S. Berlin, Julius Springer (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen Bd. 50) (1939).

Der jetzt erschienene zweite Band der “Grundlagen der Mathematik” führt die im ersten Band (1934; F. d. M. 60 I , 17) begonnene Darstellung der Hilbertschen Beweistheorie bis zu ihrem heutigen Ergebnisstand, d. h. bis zum Beweis der Widerspruchsfreiheit für den vollen zahlentheoretischen Formalismus.

In § 1 wird zunächst das Hilbertsche ε-Symbol, auf das schon in § 8 des ersten Bandes in Verbindung mit dem Russellschen “derjenige, welcher” eingegangen wurde, unmittelbar durch Axiome eingeführt und seine Bedeutung für die Elimination der gebundenen Variablen näher dargelegt. Weiter werden in § 1 und in der Hauptsache in § 2 die an das ε-Symbol anknüpfenden beweistheoretischen Ansätze Hilberts und ihre (bisher nicht veröffentlichte) Durchführung dargestellt. Der damit als widerspruchsfrei erwiesene Formalismus schließt noch nicht die vollständige Induktion ein. Die Schwierigkeiten, die sich der Erweiterung der Methoden nach dieser Richtung hin entgegenstellen, werden eingehend geschildert. Mit Hilfe der einen der dargelegten Methoden ergibt sich dann ein einfacher Zugang zu dem Herbrandschen Theorem (§ 3). Die Erörterung der Anwendungen dieses Satzes gibt Gelegenheit zu einigen Ausführungen über das Entscheidungsproblem, insbesondere über erfüllungstheoretische Normalformen.

Das zweite Hauptthema bilden die Konsequenzen, die sich für die Beweistheorie aus der von Gödel entdeckten deduktiven Unabgeschlossenheit eines jeden scharf abgegrenzten und hinlänglich ausdrucksfähigen Formalismus ergeben. In § 4 wird eine Methode der Arithmetisierung der Metamathematik entwickelt, und in § 5 werden dann die beiden Gödelschen Theoreme, in denen sich der oben geschilderte Tatbestand ausspricht, eingehend erörtert, besonders auch hinsichtlich ihrer Beziehung zu gewissen semantischen Paradoxien. Die Art der Erweiterung, die infolge der Gödelschen Sätze an den finiten Schlußweisen der Metamathematik vorgenommen werden muß, wird näher dargelegt. Die Betrachtung mündet in der Besprechung des Gentzenschen Widerspruchsfreiheitsbeweises für das volle System der Arithmetik. Dieser Beweis wird allerdings nicht im einzelnen dargestellt, sondern es wird nur auf das methodisch Neuartige, die Verwendung einer speziellen Art der “transfiniten Induktion”, eingegangen.

Vier Supplemente dienen teils dazu, die Anknüpfung an den ersten Band übersichtlicher zu gestalten, teils enthalten sie auch ergänzende Betrachtungen zu den Ausführungen des ersten und zweiten Bandes. Zu den letzten gehören Ausführungen über die Präzisierung des Begriffs der berechenbaren Funktion, über die positive Aussagenlogik und endlich über deduktive Formalismen für die Analysis, deren Widerspruchsfreiheitsbeweise ja noch in weiter Ferne liegen.