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Sur l’analyticité des solutions des systèmes d’équations différentielles. (French) JFM 65.0405.02

Es handelt sich im wesentlichen um die in einer Voranzeige (C. R. Acad. Sci. URSS (2) 17 (1937), 343-346; F. d. M. 63 I , 468) behandelte Frage. Da gegenüber der Voranzeige einige Änderungen und Ergänzungen nötig sind, berichten wir unabhängig vom früheren Referat. Betrachtet wird ein System von Differentialgleichungen

F j (x 0 ,x 1 ,,x n ,u 1 ,,u N ,)=0,j=1,,N,(1)

wo die F j in einem Bereiche G der komplexen Veränderlichen x 0 , u 1 ,,u N und der reellen Veränderliehen x 1 ,,x n sowie der partiellen Ableitungen der u ϱ nach x 0 ,x 1 ,,x n bis zur Ordnung n ϱ einschließlich definiert sind (ϱ=1,,N). Es soll F j analytisch sein in x 0 ,u 1 ,,u N und deren Ableitungen, ferner soll F j stetige Ableitungen nach x 1 ,,x n bis zur Ordnung L=2n+2n+1 2+n * +7 besitzen (j=1,,N), wobei n * =Max(n 1 ,,n N ) und [y] die größte ganze in y enthaltene Zahl bedeutet. Es wird nun für alle reellen α 0 ,α 1 ,,α n mit ν=0 n α ν 2 =1 die Matrix M gebildet

M=m jq =F q k 0 +k 1 ++k n u j x 0 k 0 x 1 k 1 x n k n α 0 k 0 α 1 k 1 α n k n

(die Differentiationen nach x 0 sind als Differentiationen nach dem reellen Teil von x 0 zu verstehen), wobei über alle nicht negativen ganzen k ν mit ν=0 n k ν =n j summiert ist. Es sei nun

M=M 1 M 2 M r ,

wobei außerhalb der quadratischen Matrizen M ϱ nur Nullen stehen (zugelassen ist dabei, daß M ϱ nur ein einziges Element α 0 n i enthält). Bei der Bildung der in M ϱ enthaltenen m jq treten Ableitungen der F q nach Ableitungen der durch M ϱ bestimmten u j auf; die F q sollen nur Ableitungen der u j nach den dem M ϱ entsprechenden x 0ϱ =x 0 ,x 1ϱ ,,x lϱ enthalten. Gefordet wird, daß Det (M ϱ ) für kein System reeller α 0ϱ ,,α lϱ mit λ=0 l α λϱ 2 =1 verschwindet, und zwar daß dies für jedes ϱ gilt. Dann sind für jede Lösung von (1) die u j im Bereiche G analytisch in x 0 , falls jedes u j stetige Ableitungen bis zur Ordnung L-1+n j besitzt. Ist überdies G komplex auch hinsichtlich x 1 ,,x n , sind ferner die F j analytisch hinsichtlich ihrer sämtlichen Argumente, so sind die Lösungen von (1) analytisch gleichzeitig in x 0 ,x 1 ,,x n , falls u j stetige Ableitungen nach x 0 ,x 1 ,,x n bis zur Ordnung L-n * -1+n j besitzt und falls Det (M) für kein System reeller α 0 ,,α n mit a ν 2 =1 verschwindet. Ferner wird die Existenz von in x 0 nicht-analytischen Lösungen von (1), die aber Ableitungen beliebig hoher Ableitungen besitzen nachgewiesen unter folgenden Annahmen über (1): Det (M) besitzt für ein System reeller α 1 ,,α n eine reelle Nullstelle α 0 0 und ist nicht identisch Null für alle α 0 ,α 1 ,,α n ; die F j sind linear mit konstanten Koeffizienten in den u 1 ,,u n und deren sämtlichen Ableitungen, während die von den u j und ihren Ableitungen freien Glieder analytisch in x 0 ,x 1 ,,x n sind. Ähnliches gilt auch für gewisse nichtlineare Systeme. – Der Fall, daß Det (M) für ein System nicht sämtlich verschwindender, reeller α 1 ,,α n eine Nullstelle α 0 =0 besitzt, kann bei linearen Systemen mit konstanten Koeffizienten auftreten, sowohl wenn alle Lösungen analytisch sind in x 0 , als wenn nichtanalytische, aber mit beliebig hohen Ableitungen versehene Lösungen vorhanden sind. -Schließlich werden Beispiele linearer Systeme, ähnlich den obigen, angegeben, welche beliebig oft differenzierbare Lösungen besitzen, die aber nicht-analytisch sind gleichzeitig hinsichtlich aller ihrer Argumente.