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Über eine Erweiterung der Laplace-Transformation. I, II. (German) JFM 66.0523.01

Ähnlich wie das Fouriersche Integraltheorem als Spezialfall der Hankelschen Formel

φ(x)= 0 J ν (xy)(xy) 1 2 dy 0 J ν (yt)(yt) 1 2 φ(t)dt

für ν=±1 2 aufgefaßt werden kann, läßt sich der (bekanntlich mit dem Fourierschen Theorem eng zusammenhängenden) Formel

F(x)=1 2πi β-i β+i e xs ds 0 e -st F(t)dt,(1)

in der die Laplace-Transformation zusammen mit ihrer Umkehrung zum Ausdruck kommt, eine Verallgemeinerung zuordnen, von der sie selbst der Spezialfall für ν=±1 2 ist, nämlich :

F(x)=1 πi β-i β+i I ν (xs)(xs) 1 2 ds 0 K ν (st)(st) 1 2 F(t)dt·(2)

Ein Satz, der hinreichende Bedingungen für die Gültigkeit dieser Formel (2) angibt und eine Verallgemeinerung eines bekannten Satzes über die Formel (1) (Doetsch, Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation (1937; F. d. M. 63 I , 368), S. 105) darstellt, ist der folgende:

Die Funktion F(t) sei definiert für t>0 und in jedem endlichen Intervall 0<T 1 tT 2 im Riemannschen Sinn eigentlich integrabel. Das Integral 0 e -at |F(t)|dt, sei konvergent mit a0. In der Umgebung des Punktes t=x>0 sei F(t) von beschränkter Variation. Für -1 2ν1 2 und β>a gilt dann:

F(x+0)+F(x-0) 2=1 πilim λ β-iλ β+iλ I ν (xs)(xs) 1 2 ds 0 K ν (st)(st) 1 2 F(t)dt·

Es wird noch eine Reihe von weiteren Sätzen bewiesen, die sich auf die Zerlegung der Formel (2) in eine Transformation und ihre Umkehrung:

f(s)=2 π 0 K ν (st)(st) 1 2 F(t)dt,F(t)=1 i2π β-i β+i I ν (ts)(ts) 1 2 f(s)ds

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