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Der Hauptgeschlechtssatz für relativ-galoissche Zahlkörper. (German) Zbl 0007.29501
MSC:
11R37Class field theory for global fields
References:
[1]Vgl. dazu meinen Züricher Vortrag, Verhandl. des internat. Math. Kongr. Zürich, 1932. Bd. I: Hyperkomplexe Systeme in ihren Beziehungen zur kommutativen Algebra und Zahlentheorie, wo insbesondere auch die hyperkomplexe Fromulierung von Normensatz und Hauptgeschlechtssatz ausführlich besprochen wird. Daselbst Literaturangabe. Für den Satz über die zerfallenden Algebren vgl. außerdem die Darstellung bei H. Hasse, Die Struktur der R. Brauerschen Algebrenklassengruppe (?, 1). Math. Annalen107 (1932).
[2]Ich sage im ?Minimalen?, da es sich um das algebraische Analogon des Hauptgeschlechtssatzes inbeliebigen Körpern handelt, während im ?Kleinen? schon die Bedeutung des Übergangs zup-adischem Grundkörper hat.
[3]Der Satz findet sich bei A. Speiser, Zahlentheoretische Sätze aus der Gruppentheorie, S. 3. Math. Zeitschr.5 (1919), S. 1-6. Der Satz wird hier schon als ein solcher über verschränkte Darstellungen ausgesprochen. · doi:10.1007/BF01203150
[4]Darüber wird je eine Note von C. Chevalley (Hamb. Ber.), H. Hasse, E. Noether erscheinen, die beiden letzteren in einem Herbrand-Gedächtnisband.
[5]Die Theorie ist im Anschluß an, eine Vorlesung von mir (1929/30) dargestellt bei H. Hasse, Theory of cyclic algebras, Kap. 2. Am. Transact.34 (1932). Vgl. ferner einen Bericht von M. Deuring über hyperkomplexe Zahlen, der in den Ergebnissen der Mathematik erscheinen soll. Die hier gegebene Zusammenstellung entnehme ich meinem unter 1. zitierten Züricher Vortrag.
[6]K * entsteht ausK durch Weglassung der Null; diese Bezeichnung wird allgemein benutzt.
[7]Der hier gegebene Beweis gilt insbesondere auch, wennk nur endlich viele Elemente enthält, ein Fall, wo der Hilbertsche Beweis versagt, der Speisersche allerdings gültig bleibt.
[8]I. Schur, Einige Bemerkungen zu der vorstehenden Arbeit des Herrn A. Speiser 3). Math. Zeitschr.5 (1919), S. 7-10. Für einen Beweis auf Grund der verschränkten Darstellungsmoduln [aus meiner unter 6) zitierten Vorlesung] vgl. den unter 6) zitierten Bericht von M. Deuring. · doi:10.1007/BF01203150
[9]Vgl. dazu den Schluß der Einleitung.
[10]Genauer gilt:a S,T =d S T dT d ST . Beim Beweis des Hauptgeschlechtssatzes wird aber nur die abgeschwächte Aussage über die Hauptideale benutzt.