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Trasformazioni termoelastiche finite. I. (Italian) Zbl 0063.07023
Not reviewed
References:
[1]V.Sulle deformazioni termoelastiche finite [“ Verhandlungen des 3. Kongresses für Technische Mechanik ”, Stockholm, Sveriges litografiska Tryckerier (1930) II, pp. 80–89],Trasformazioni termoelastiche finite, ecc. [“ Atti della XXIV Riunione della S.I.P.S. ” (1935) III, pp. 3–22],Deformazioni elastiche finite: elasticità di 2. o grado [“ Atti del 2.o Congresso della U. M. I. ” (1940) pp. 56–71]. V. ancheSulle deformazioni finite dei sistemi continui [“ Rend. Lincei ”, 2.o sem. 1930, pp. 312–16],Sulla meccanica dei sistemi continui [id. id., pp. 411–16],Sulle deformazioni finite dei sistemi a trasformazioni reversibili [id. 2.o sem. 1933, pp. 388–94]; nonchè le litografie del corso di Fisica matematica da me tenuto a Napoli nel 1934–35. Una copia di questo volume è reperibile nella biblioteca dell’Ist. di Mat. della R. U. di Roma, un’altra in quella del R. Ist. Naz. di A. Mat..
[2]Mi limito sul momento a citare:Thomson eTait,Treatise on Natural Philosophy, Part I [new edition, Cambridge University Press, 1879] pp. 116–49; E. e.F. Cosserat,Sur la théorie de l’élasticité [“ Ann. de Toulouse ”, t. X (1896), pp. I1–I116) Ch. I;Hadamard,Leçons sur la propagation des ondes et les équations de l’Hydrodynamique [Paris, Hermann, 1903] Ch. II, § 1;J. Le Roux,Recherches sur la Géométrie des déformations finies [“ Ann. de l’École Norm. Sup. ”, 3.e s., t. XXX (1913), pp. 193–245];Appell,Traité de Mécanique rationnelle, t. III [3.e édition, Paris, Gauthier-Villars, 1921] Ch. XXXII;Love,Theory of Elasticity [fourth edition, Cambridge University Press, 1927] pp. 59–73;Burgatti,Teoria matematica della elasticità [Bologna, Zanichelli, 1931] pp. 50–61.
[3]Anciens Exercices, 2.e année (1827) pp. 60–69 ovveroOeuvres, II.E Série, t. VII, pp. 82–93.
[4]V. II, n.o 8 e III, n.o 3, in fine; cioè n.o 8 del cap. II, ecc..
[5]Cfr. in particolareBurali-Forti eMarcolongo,Trasformazioni lineari [2.a ediz. Bologna, Zanichelli, 1929]. AncheBurgatti, nel volume citato nella nota (2), fa uso sistematico dell’Analisi vettoriale generale.
[6]V. L. Brillouin,Les lois de l’élasticité en corrdonnées quelconques [“ Proc. of the int. math. Congress ”, Toronto (1924) vol. II, pp. 73–97];B. Finzi,Tensori elastici per deformazioni finite [“ Boll. della U. M. I. ”, Anno X (1931) pp. 57–61];Y. Dupont,Sur la theorie invariantive de l’élasticité à deformations finies [“ Comptes Rendus ”, t. 192 (1931) pp. 873–75] eThermodynamique invariantive des systémes élastiques [“ Bull. Acad. Roy. Belg. ”, 5e série, t. XIX (1933), pp. 1167–79];F. D. Murnaghan,Finite deformations of an elastic solid [“ American Journal of Math. ”, vol. LIX (1937) pp. 235–60];Cisotti,Meccanica razionale [4.a ed., Libr. ed. politecnica, Milano, 1942] pp. 374–83;C. Tolotti,Le equazioni lagrangiane della meccanica dei sistemi continui in coordinate generali [Nota in corso di stampa nel vol. XIII (s. 4.a) dei “ Rend. dell’Acc. delle Sc. Fis. e Mat. di Napoli ”].
[7]V. la 3.a delle conferenze citate nella nota (1).
[8]Mi limito a citare la Mem.:Le potentiel thermodynamique et la pression hydrostatique [“ Ann. École Norm. Sup. ”, 3.e série, t. X (1893), pp. 183–230].
[9]Die allgemeine Ansätze der Mechanik der Kontinua [Bd. IV, 4. Teilbd., S. 602–94 (1913)].
[10]Cfr. ad es.Volterra,Un teorema sulla teoria della Elasticità, “ Rend. Lincei ”, 1.o sem. 1905, p. 128.
[11]Cfr. ad es.Hadamard, loc. cit. nella nota (2) dell’Intr., p. 61, n.o 48 e, per un’analisi approfondita delle proprietà topologiche di uno spostamento regolare,Lichtenstein,Grundlagen der Hydromechanik [Berlin, Springer, 1929] 5. Kap..
[12]Cfr. ad es.Burali-Forti eMarcolongo,Analyse vectorielle générale, II,Applications à la Mécanique et à la Physique (Pavia, Mattei, 1913) p. 17;Burgatti, loc. cit. Intr. (2), pp. 51–52.
[13]Cfr. ad es.Burali-Forti eMarcolongo, loc. cit. (6), Ch. II.
[14]Cfr.Burgatti,Sulle deformazioni finite dei corpi continui [“ Memorie dell’Ist. di Bologna ”, S. VII, T. I, 1913–14] n.o 1 e loc. cit. Intr. (2).
[15]Cfr. ad es.Appell, loc. cit. Intr. (2), pp. 243–45: V. anche laOsservazione al prossimo n.o 23, in fine.
[16]Le (16) già figurano nella Memoria diC. Neumann Zur Theorie der Elastizität [“ Crelle ”, Bd. 57 (1860), S. 281–318] § 11, S. 306. · Zbl 02750265 · doi:10.1515/crll.1860.57.281
[17]Tra le opere citate nella nota (2) dell’Intr., cfr. in particolareThomson eTait, p. 116 e segg..
[18]V. G. Grioli,Una proprietà di minimo nella cinematica delle deformazioni finite [“ Boll. della U. M. I. ”, Serie II, Anno II, n.o 5].
[19]Cfr. ad es.,Marcolongo,Meccanica razionale (Milano, Hoepli), Parte I, Cap. III, Eserc. 2. V. ancheB. De Finetti,Le isomerie vettoriali e una formola di Cisotti per gli spostamenti rigidi [“ Rend. del R. Ist. Lombardo ”, vol. LXVII, 1934, pp. 81–98].
[20]V. nota (25).
[21]V. la prossima nota (43).
[22]Qualunque siano le due omografie γ e γ’, èI s (γγ)=I s (γγ’) (s=1, 2, 3) [cfr.T. Boggio,Sul gradiente di un’omografia vettoriale, “ Rend. Lincei ”, 2o sem. 1910, pp. 383–89].
[23]Cfr. la prossima nota (49).
[24]Cfr.Duhem,Recherches sur l’Élasticité, Première Partie [“ Ann. de l’École Norm. Sup. ”, t. XXI (1903), pp. 99–140] Ch. I, n.o 2.
[25]O. Manville,Sur la déformation finie d’un milieu continu [Thèses présentées à la Faculté des Sc. de Bordeaux (1903), ovvero “ Mém. de la Soc. des Sc. Phys. et Nat. de Bordeaux ” (6),2 (1904) pp. 83–162]: questa Memoria non è esente da difetti.
[26]Marcolongo,Le formole del Saint-Venant per le deformazioni finite [“ Rend. Palermo ” XIX (1905) pp. 151–55]. · Zbl 02651818 · doi:10.1007/BF03014008
[27]Riquier,Sur l’intégration d’un système d’équations aux dérivées partielles auquel conduit l’étude des déformations finies d’un milieu continu [“ Ann. de l’École Norm. Sup. ” (3) t. XXII (1905)]: v. ancheRiquier,Sur une question fondamentale de calcul intégral [“ Acta Math. ”, XXIII (1900), pp. 203–332].
[28]Crudeli,Sopra le deformazioni finite. Le equazioni del Saint-Venant [“ Rend. Lincei ” 2.o sem., 1911, pp. 306–08].
[29]Ved.Burgatti, Mem. cit. nella nota (11), n.o 3.
[30]Le equivalenti relazioni scalari coincidono con la forma data daCesàro [“ Rend. Acc. delle Sc. di Napoli ” (3)12 (1906) pp. 311–21, ovvero “ Nuovo Cimento ” (5) 12, pp. 143–54] alle formole diVolterra [loc. cit.. (4), Art. II].
[31]Cfr. ad es.,Burali-Forti eMarcolongo, loc. cit. (6), Ch. II, § 6.
[32]Boussinesq,Théorie des ondes liquides périodiques [“ Mémoires présentés par divers savants à l’Académie des Sciences ”, t. XX, pp. 509–615], § 1. La Memoria – presentata il 19 aprile 1869, con aggiunte del 29 novembre 1869 – fu approvata dallaAcadémie des Sciences il 21 febbraio 1870, su relazione dide Saint-Venant [v. “ Comptes Rendus ”, t. LXX, pp. 360–367 e in particolare, per quanto riguarda le (8), p. 362].
[33]Kirchhoff,Ueber die Gleichungen des Gleichgewichts eines elastischen Körpers bei nicht unendlich kleinen Verschiebungen seiner Teile [“ Sitzungsberichte der k. Akademie der Wissenschaften ”, Bd. IX, S. 762–773, Wien, 1852]. Questa Memoria si inizia con un riferimento alMémoire sur l’équilibre des corps solides dans les limites de leur élasticité, et sur les conditions de leur résistance, quand les déplacements éprouvés par leurs points ne sont pas très petits, letto dade St. Venant il 22 febbraio 1847 allaAcadémie des Sciences [“ Comptes Rendus ”, t. XXIV, pp. 260–63]: ma già il 28 marzo 1844de St. Venant aveva fatto una comunicazione sullo stesso soggetto allaSociété Philomathique di Parigi [“ Extraits des procès-verbaux ” 1844, pp. 26–28] La Memoria diKirchhoff non fu ristampata nelle sueGesammelte Abhandlungen.
[34]V. Trefftz,Ueber die Ableitgung der Stabilitätskriterien des elastischen Gleichgewichtes aus der Elastizitätstheorie endlicher deformationen [“ Verhandlungen des 3. int. Kongresses für technische Mechanik ”, Stockholm, Sveriges litografiska Tryckerier, 1931, Teil III, S. 44–50] I;R. Kappus,Zur Elastizitätstheorie endlicher Verschiebungen [“ Zeitschrift für angewandte Mathematik und Mechanik ”, Bd. 19 (1939) pp. 271–85 e 344–61] I Teil.
[35]E. eF. Cosserat, loc. cit. Intr. (2), Ch. II.
[36]Cfr. ancora I, nota (46).
[37]Cfr. ancora I, nota (25).
[38]Cfr. ad es. (I, 62).
[39]V. loc. cit. (9).
[40]Cfr., ad es., I, n.o 18,e).
[41]Cfr. la (I, 85) tenendo conto dell’identità α δ α δ y s =Kχ δ y s α δ s=1,2,3· (s=1,2,3).
[42]W. Thomson,On the Thermo-elastic and Thermo-magnetic Properties of Matter [“ Quarterly Journal of Mathematics ”, Vol. I, pp. 57–77 (April, 1855)]. Questa Memoria fu ristampata, con aggiunte, nel “ Philosophical Magazine ” [Vol. 5 (1878), pp. 4–27] e figura neiMathematical and Physical Papers di LordKelvin [Vol. I, pp. 291–316] come parte VII dell’articoloOn the Dynamical Theory of Heat.
[43]V. le mie lezioni diMeccanica razionale con elementi di Statica grafica [Roma, D. U. S. A., 1940–41], Cap. XV, n.i 6 e 9 e Cap. XVII, n.i 17 e 19.
[44]V. F. Massieu,Mémoire sur les fonctions caractéristiques des divers fluides et sur la théorie des vapeurs [“ Mémoires présentés par divers savants à l’Académie des Sciences ”, t. XXII, n.o 2, pp. 92] Introduction.
[45]Cfr. ad es. la Mem. cit. nella nota (7) dell’Intr..
[46]Helmholtz,Die Thermodynamik chemischer Vorgänge [“ Sitzber. d. kgl. preuss. Akad. d. Wissensch. ”, Berlin 1882, 1. Halbband. S. 22–39] § 1 ovveroAbhandlungen zur Thermodynamik Chemischer Vorgänge (“ Ostwald’s Klassiker ”, n.o 124]. La Memoria in questione figura pure nelleWissenschaftliche Abhandlungen diHelmholtz [Bd. II, S. 958–78].
[47]V. Mem. cit. nella nota (28) del cap. II, § 1. Ivi figura, in nota, anche la seguente dichiarazione: “ ... j’avais adopté pour fonction caractéristique 118-1 ... c’est d’après les bons conseils de M. Bertrand que j’y ai substitué la fonction H,dont l’emploi réalise quelques simplifications dans les formules ”.V. Cellérier ancheG. Cellérier,Sur les principes généraux de la Thermodynamique et leur application aux corps élastiques [“ Bull. de la Soc. mathématique de France ”, t. XXI (1893), pp. 26–43], § 2.
[48]Ctr. I, n.o 18,f).
[49]V. loc. cit. nella nota (2), pp. 31 e 39.
[50]V. “ Phil. Trans. ”, Vol. 153, pp. 610–16: la Memoria fu ristampata in appendice alTreatise e anche figura nel Vol. III deiMath. and Phys. Papers.
[51]Duhem, a p. 244 del Vol. II diHydrodynamique, Elasticité, Acoustique [Paris, Hermann, 1891] fa rilevare che il merito della prima applicazione del metodo diLagrange a sistemi elastici tridimensionali spetta, non aGreen (1837), ma proprio aNavier (1821).
[52]Cfr. ancheM. Brillouin,Déformations homogènes finies, énergie d’un corps isotrope [“ Comptes Rendus ”, t. CXII (1891) pp. 1500–02].
[53]Cfr. I, § 4.
[54]Queste uguaglianze hanno una lontana analogia con certe espressioni dei coefficienti di β rispetto a αρT* stabilite daD. Bonvicini in fine alla NotaSulla deformazione pura nel caso di spostamenti finiti e sulla relazione di essa colla tensione nei corpi anisotropi [“ Annali di Mat. ”, 4.a serie, vol. XIII (1935), pp. 113–17].
[55]Cfr. I, n.o 18.
[56]Cfr. cap. III, n.o 9 dell’op. cit. nella nota (25) del cap. II.
[57]Cfr. (24’), tenendo ancora conto che la ϵ è una dilatazione.
[58]V. I, n.o 18,f).
[59]Naturalmente voglio dire “ la terna di origineP per la quale le direzioni dei tre assi sono le immagini suC [cfr. la nota II, (13)] delle direzioni degli assi diT* ”.
[60]Nell’ordinaria teoria dell’Elasticità la proprietà in questione veniva sempre invertita [a quanto mi consta] con l’aggiunta di qualche condizione sovrabbonante: per una dimostrazione diretta della sua sufficienza v.I. Gasperini,Sopra una proprietà caratteristica dei sistemi isotropi [Nota in corso di stampa nel “ Boll. della U. M. I. ”, Serie II, Anno V].
[61]Almansi,Sulle deformazioni finite dei solidi elastici isotropi, Nota I [“ Rend. Lincei ”, 1.o sem., 1911, pp. 705–14].
[62]Cfr.Almansi,Sulle deformazioni finite dei solidi elastici isotropi, Nota III [“ Rend. Lincei ”, 2.o sem., 1911, pp. 289–96].