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Riemann’s zeta function. (English) Zbl 0315.10035
Pure and Applied Mathematics, 58. New York-London: Academic Press, a subsidiary of Harcourt Brace Jovanovich, Publishers. XIII, 315 pp. $21.50 (1974).

Dieses ist ein wichtiges und ungewöhnliches Buch. Es möge wohl dem mit der Theorie der Primzahlen vertrauten Leser nicht viele neue Tatsachen bringen, es ist jedoch Träger einer Botschaft: man gehe an die Quellen, man komme stets auf die Meister zurück!

In den meisten Fächern ist das ja selbstverständlich. Welcher Literaturforscher würde sich denn damit begnügen nur über Goethe und Schiller zu lesen, ohne sich in die Werke dieser Dichter selber zu vertiefen? In der Mathematik scheint es leider anders zu sein. Sogar solche bahnbrechenden Arbeiten wie “Fundamenta Nova”, “Disquisitiones Arithmeticae”, oder “Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe” werden heute kaum mehr gelesen, von so manchen anderen wichtigen, jedoch weniger berühmten Werken gar nicht mehr zu reden. Zum Teil möge das auf sprachliche Schwierigkeiten zurückzuführen sein, obwohl so manche lateinische, russische und französiche Texte heute sowohl in deutscher als auch in englischer Fassung zu finden sind. Eine Ausnahme bildete bis jetzt die letzterwähnte Arbeit Riemanns. Als Anhang zum gegenwärtigen Buch befindet sich jedoch eine dem Verf. zu verdankende englische Übersetzung dieses kurzen, jedoch bedeutenden Werkes. Dadurch wird dieses auch denjenigen Mathematikern zugänglich gemacht, die der deutschen Sprache nicht genügend mächtig sind, um Riemann im Original zu lesen.

Es mag überhaupt wohl zutreffen, daß es hauptsächlich die gegenwärtige, relative Vernachlässigung des Riemannschen Beitrages zum Problem der Primzahlen war, die den Verf. veranlaßte das Buch zu schreiben; dieses ungeachtet der Tatsache, daß nur etwa 100 (von über 300) Seiten unmittelbare Beziehung zu Riemanns Arbeiten haben (Kapitel 1, 2, 3 und 7). Jedoch sind auch die anderen 2/3 des Buches von Riemannschen Ideen durchdrungen. Von besonderem Interesse ist die große Sorgfältigkeit, mit der alle Einzelheiten ausgearbeitet sind, unter Vermeidung jeder Unklarheit, um diesen an sich schwierigen Gegenstand auch dem weniger gewandten Leser zugänglich zu machen.

Nur die kürzeste Übersicht des behandelten Stoffes ist hier möglich. Das erste Kapitel ist eine ausführliche Darlegung von Riemanns “Über die Anzahl ...”.

Im zweiten Kapitel werden Lücken jener Arbeit ausgefüllt (Hadamard, Jensen, Landau,Carathéodory).

Kapitel 3: Beweis der von Mangoldtschen (“expliziten”) Formel für ψ(x) und der entsprechenden Riemannschen Formel für π(x) (von Mangoldt, Landau).

Kapitel 4: Beweis des Primzahlsatzes (Hadamard, Chebyshev, Tauberscher Satz).

Kapitel 5: Primzahlsatz mit Restglied. Bedeutung der Riemannschen Vermutung (im folgenden mit RV abgekürzt) (Mertens, de la Vallée-Poussin, von Koch).

Kapitel 6: Euler-Maclaurinsche Summenformel, Stirlingsche Reihe, Berechnung der Wurzeln von ζ(s) (Gram, Bäcklund, Hutchinson, Stieltjes).

Kapitel 7: Riemann-Siegelsche Formel, Besprechung der RV (Riemann, Siegel, Bessel-Hagen).

Kapitel 8: Berechnung der Wurzeln im Großen (Turing, Lehmer, Rosser, Yohé, Schoenfeld).

Kapitel 9: Beziehung zwischen der Größenordung von |ζ(s)| und der Verteilung der Nullstellen, Lindelöfsche Vermutung, Mittelwerte, Bohr-Landauscher Satz, bester zur Zeit bekannte Wert des Restgliedes im Primzahlsatz (Hadamard, Littlewood, Lindelöf, Bäcklund, Bohr, Landau).

Das zehnte Kapitel über Fouriersche Analyse bespricht invariante Operatoren, Umkehrungssätze, usw., und wendet diese Begriffe auf die Zetafunktion an. Auf diese Weise erhält man, unter anderem eine operatorentechnische Variante des zweiten Riemannschen Beweises der Funktionalgleichung der Zetafunktion. Auch Parsevals Gleichung, Möbiussche Umkehrung, Werte von ζ(s) für ganzrationales s und eine Formel von Ramanujan kommen hier vor. Trotz seiner formellen Eleganz scheint jedoch dieses Kapitel das am wenigsten befriedigende dieses sonst hervorrangenden Buches zu sein.

Kapitel 11 ist den Nullstellen von ζ(s) auf der kritischen Geraden gewidmet. Die Beweise von Hardy (“unendlich viele Wurzeln”), Hardy und Littlewood (“mehr als CT”) und Selberg (“mehr als CTlogT”) werden sehr sorgfältig entwickelt. Levinsons neues (1974) Ergebnis (“C>1/6π”) wird in einer zweiten Auflage erwähnt.

Das zwölfte und letzte Kapitel behandelt mehrere unzusammenhängende Themen, unter denen folgende erwähnt werden mögen: Die RV und die Größenordnung der Möbiusschen Summenfunktion (Mertens, Stieltjes); Fareysche Reihen und die RV (Franel, Landau); wahrscheinlichkeitstheoretische Betrachtung der RV (Denjoy); Taubersche Lehrsätze (Tauber, Hardy, Littlewood, Wiener, Ikehara); Selbergs Ungleichung und der elementare Beweis des Primzahlsatzes (Selberg, Erdős, Wirsing, Bombieri); Zahlentheorie und von der Riemannschen verschiedene Zetafunktionen (Dedekind, Hilbert, Hecke, Artin, Weil, Tate). Wie bereits erwähnt, folgt ein Anhang mit der englischen Übersetzung von Riemanns “Über die Anzahl...”, der das Buch beschließt.

Hier angekommen, drängt sich wohl dem Leser die Frage auf: Was ist des Verf. eigene Meinung bezüglich der RV? Der Verf. gibt sich ernste Mühe zu zeigen, daß nichts von dem, was wir heute über die Riemannschen Zetafunktionen wissen, uns berechtigt anzunehmen, daß die RV zutrifft. Er geht sogar so weit anzunehmen, daß wohl Riemann selber, falls er z.B. die Ausnahmen zum Gramschen Prinzip, oder die “Lehmerschen Erscheinung” gekannt hätte, womöglich seine eigene Vermutung angezweifelt hätte. Andererseits werden sämtliche Erwägungen die den Glauben an die RV bekrätigen können, sorfältig dem Leser vorgelegt. Am Ende erwähnt der Verf. (in einem viel zu kurzen, letzten Abschnitt) die Zetafunktionen der Funktionenkörper über endlichen Körpern und die Tatsache, daß A. Weil für diese die Gültigkeit der analogen “Vermutung” bewiesen hat. Verf. betrachtet diese und verwandte Entwicklungen als die überzeugendsten Argumente zu Gunsten der RV. Obwohl Verf. also keinerlei entgültige Meinung äußert, so versteht der Leser doch dessen Empfinden, daß“...vielleicht doch...”.

Endlich sei der Leser noch einmal an die Botschaft erinnert: kein Kommentar kann Urquellen ersetzen. Im vorliegenden Falle gilt das (abgesehen von Riemanns Werk) ganz besonders von Selbergs Arbeiten. Das gegenwärtige Buch mag jedoch das Lesen dieser, so wie mancher anderer Originalarbeiten erheblich erleichtern.

Reviewer: E. Grosswald

MSC:
11M06ζ(s) and L(s,χ)
11-02Research monographs (number theory)
11-03Historical (number theory)