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About a five times transitive function of 24 quantities. (Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantités.) (French) JFM 05.0088.01

Das Princip, aus dem die in der Abhandlung gegebenen Resultate entspringen, ist folgendes: Sind p und q=p-1 2 Primzahlen, x 2 =x 1 , wenn zz 1 (mod·p), so giebt es transitive Functionen der p Grössen x 0 ,x 1 ,x p-1 , die für die Substitutionen (0,1,p-1) und (1,g 2 ,g 4 ,)(g,g 3 ,) unveränderlich sind; g bedeutet dabei eine primitive Wurzel von p. Daraus folgt die Unveränderlichkeit für die Substitutionen (z,a 2 z+b). Setzt man nun (x 1 ,x g 2 ,x g 4 ,)(x g ,x g 3 ,)=(x 0 ' ,x 1 x q-1 ' )(x 0 '' ,x 2 '' ,x '' q-1 ), indem man x 1 =x c ' , x g 2 =x 2 ' , x g 4 =x 3 ' , setzt, so kann man die x g ,x g 3 auf q Arten mit den x '' identificiren. Nun muss aber die für letztere Substitution unveränderliche transitive Function auch für die aus den p-3 Grössen gebildete Substitution (x 2 ' ,x γ ' u z )(x z '' ,x γ '' u z ) unveränderlich sein, wo γ eine primitive Wurzel von q, und u ein Theiler von q-1 und kleiner als q-1 ist, und die Indices nach dem Modul q genommen werden. Je nachdem nun die x '' mit den x g ,x g 3 , in Beziehung gesetzt werden, kann man möglicherweise verschiedene Gruppen und Functionen erhalten. Die durch dieses Princip erlangten Resultate sind folgende:

Es giebt eine zweifach transitive Function von 7 Grössen, welche 30 Werthe hat und durch die Substitutionen (x 0 ,x 1 x 7 ) und (x 2 x 4 )(x 6 x 5 ) characterisirt ist. Fügt man eine der Substitutionen z,Az+B Cz+D, für die AD-BC quadratischer Rest (mod7) ist und welche x enthält, dazu z. B.

z,-1 z=(0,)(1,6)(2,3)(4,5),

so erhält man eine dreifach transitive Function.

Aehnlich giebt es eine zweifach transitive Function von 11 Grössen mit 60480 Werthen unveränderlich für (x 01 ,x 10 ) und (x 1 ,x 3 )(x 5 ,x 9 )(x 10 ,x 2 )(x 7 ,x 6 ) von der man durch Hinzufügung von x und z,Az+B Cz+D in gleicher Weise eine dreifach transitive Function von 12 Grössen erlangen kann.

Es giebt eine vierfach transitive Function von 11 Grössen mit 7! Werthen, characterisirt durch (x 0 x 1 x 10 ) und (x 4 ,x 5 ,x 3 ,x 9 )(x 0 ,x 7 ,x 2 ,x 6 ), deren Gruppe diejenige der eben definirten Function umfasst. Fügt man x und z,-1 z dazu, so erhält man eine fünffach transitive Function von 12 Grössen. Es giebt eine vierfach transitive Function von 23 Grössen, welche unverändert bleibt, wenn man auf die 11 Grössen des ersten Cyclus von

(1,2,4,8,16,9,18,13,3,6,12)(5,10,20,17,11,22,21,19,15,7,14)

die 6·10·11 aus (x 0 ' x 1 ' x 10 ' ) und (x 4 ' x 3 ' )(x 5 ' x 9 ' )(x 10 ' x 2 ' )(x 7 ' x 6 ' ) anwendet, welche eine zweifach transitive Function von 11 Grössen characterisiren, sofern man zugleich auf den zweiten Cyclus jener obigen Substitution die aus (x 0 '' x 10 '' ) und (x 1 '' x 9 '' )(x 4 '' x 5 '' )(x 7 '' x 8 '' )(x 6 '' x 2 '' ), welche auch eine zweifach transitive Function characterisiren, anwendet. Hiebei muss gesetzt werden

x 0 ' =x 1 ,x 1 ' =x 2 ,x 2 ' =x 4 ,x 3 ' =x 8 ,x 4 ' =x 11 ,x 5 ' =x 9 ,x 6 ' =x 18 ' ,x 7 ' =x 13 ,x 5 ' =x 8 ,x 9 ' =x 6 ,x 10 ' =x 12 ;x 0 '' =x 5 ,x 1 '' =x 10 ,x 2 '' =x 20 ,x 3 '' =x 17 ,x 4 '' =x 11 ,x 5 '' =x 22 ,x 6 '' =x 21 ,x 7 '' =x 19 ,x 8 '' =x 15 ,x 9 '' =x 7 ,x 10 '' =x 14 ·

Aus dieser Function leite man durch Hinzunahme von x eine fünffach transitive Function von 24 Grössen ab. Es werden nun die Formeln, durch welche die x ' und die x '' in die x übergeführt werden, in allgemeinerer Weise betrachtet. Man erkennt dabei, dass die zweifach transitive Function aus 7 Grössen durch (z,z+1) und ausserdem eine der Substitutionen (z,-2z 5 +3z 2 ), (z,z 5 ),(z,-z 5 +2z 2 )(mod7), die zweifach transitive von 11 Grössen durch (z,z+1) und eine der beiden (z,5z 2 -4z 4 ),(z,3z 2 -2z 4 ), die vierfach transitive von 11 Grössen durch (z,z+1) und eine der beiden (z,3z 7 +4z 2 ),(z,2z 7 -z 2 ) und die vierfach transitive der 23 Grössen durch (z,z+1) und (z,-3z 15 +4z 4 ) characterisirt wird.


MSC:
26E25Set-valued real functions
20B20Multiply transitive finite permutation groups
11A41Elementary prime number theory
13B10Automorphisms, etc. (commutative rings)
15A04Linear transformations, semilinear transformations (linear algebra)
20D45Automorphisms of finite groups
13A50Actions of groups on commutative rings; invariant theory
14C20Divisors, linear systems, invertible sheaves
11F03Modular and automorphic functions
11E04Quadratic forms over general fields
14C25Algebraic cycles