zbMATH — the first resource for mathematics

Examples
Geometry Search for the term Geometry in any field. Queries are case-independent.
Funct* Wildcard queries are specified by * (e.g. functions, functorial, etc.). Otherwise the search is exact.
"Topological group" Phrases (multi-words) should be set in "straight quotation marks".
au: Bourbaki & ti: Algebra Search for author and title. The and-operator & is default and can be omitted.
Chebyshev | Tschebyscheff The or-operator | allows to search for Chebyshev or Tschebyscheff.
"Quasi* map*" py: 1989 The resulting documents have publication year 1989.
so: Eur* J* Mat* Soc* cc: 14 Search for publications in a particular source with a Mathematics Subject Classification code (cc) in 14.
"Partial diff* eq*" ! elliptic The not-operator ! eliminates all results containing the word elliptic.
dt: b & au: Hilbert The document type is set to books; alternatively: j for journal articles, a for book articles.
py: 2000-2015 cc: (94A | 11T) Number ranges are accepted. Terms can be grouped within (parentheses).
la: chinese Find documents in a given language. ISO 639-1 language codes can also be used.

Operators
a & b logic and
a | b logic or
!ab logic not
abc* right wildcard
"ab c" phrase
(ab c) parentheses
Fields
any anywhere an internal document identifier
au author, editor ai internal author identifier
ti title la language
so source ab review, abstract
py publication year rv reviewer
cc MSC code ut uncontrolled term
dt document type (j: journal article; b: book; a: book article)
Nonlinear scalar field equations. I: Existence of a ground state. (English) Zbl 0533.35029

Es sei g=g(t) eine für t stetige, reellwertige Funktion mit g(-t)=-g(t). Betrachtet wird das Problem

(*)-Δu=g(u)in N ;uH 1 ( N ),u¬0·

Dabei soll die Funktion g den folgenden zusätzlichen Bedingungen genügen:

-<lim ̲ s0 + g(s)/slim ¯ s0 + g(s)/s=-m<0,-lim ¯ s+ g(s)/s 0,=(N+2)/(N-2),G(ζ)= 0 ζ g(s)ds>0füreinζ>0·

Als Hauptresultat der Arbeit wird gezeigt, daß das Differentialgleichungsproblem (*) eine Lösung u besitzt, falls die Bedingungen (1)-(3) mit N3 erfüllt sind. Die Lösung u besitzt die folgenden zusätzlichen Eigenschaften: (a) u>0, x N . (b) Es gilt u(x)=φ(|x|) mit einer monoton fallenden Funktion φ (r). (c) u(x) gehört zur Klasse C 2 ( N ) und es gilt (4) |D α u(x)|Ce -δ|x| , x N für |α|2 mit positiven Konstanten C,δ.

Zum Beweis dieser Aussagen wird das Variationsproblem (**)T(w)Minimum,wH 1 ( N ), V(w)=1, betrachtet, wobei T(w) und V(w) durch die Gleichungen (5)T(w)= N |w| 2 dx und (6)V(w)= N G(w)dx erklärt sind und die Funktion g geeignet zu modifizieren ist. Es wird gezeigt, daß (**) eine positive, radialsymmetrische, in r=|x| monoton fallende Lösung vH 1 ( N ) besitzt und ein positiver Lagrange-Multiplikator Θ existiert, so daß (7)-Δv=Θg(v),x N gilt. Die Funktion u(x)=v(x/Θ) ist dann eine Lösung von (*). Unter Anwendung der Pokozaevschen Identität ergibt sich für eine beliebige Lösung z von (*) die Ungleichung (8)0<S(u)S(z), wobei das Funktional S(z) durch die Gleichung (9)S(z)=(1/2)T(z)-V(z) definiert ist.

Reviewer: E.Heinz

MSC:
35J60Nonlinear elliptic equations
35J15Second order elliptic equations, general
35A15Variational methods (PDE)
35A05General existence and uniqueness theorems (PDE) (MSC2000)