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An irreducible simply connected algebraic curve in \({\mathbb{C}}^ 2\) is equivalent to a quasihomogeneous curve. (Russian. English summary) Zbl 0564.14014

Sov. Math., Dokl. 28, 200-204 (1983); translation from Dokl. Akad. Nauk SSSR 271, 1048-1052 (1983).
Es sei \(p\in {\mathbb{C}}[x,y]\) ein irreduzibles Polynom und \(\Gamma_{\xi}:=\{(x,y)\in {\mathbb{C}}^ 2| p(x,y)=\xi \}\) die Faser über \(\xi\) der von p induzierten Abbildung \({\mathbb{C}}^ 2\to {\mathbb{C}}.\) \(Aut({\mathbb{C}}^ 2)\) bezeichne die Gruppe derjenigen Automorphismen von \({\mathbb{C}}^ 2\), die durch Polynome gegeben werden. Abhyankar, Moh und Suzuki haben bewiesen: ist die Kurve \(\Gamma_ 0\) isomorph zu \({\mathbb{C}}\), so gibt es ein \(\alpha \in Aut({\mathbb{C}}^ 2)\) mit \(p\circ \alpha =pr_ 1,\) d.h. \(p(\alpha (x,y))=x\) für alle \((x,y)\in {\mathbb{C}}^ 2\). Die Autoren untersuchen hier die daran anschließende Frage: was kann man über p sagen, falls \(\Gamma_ 0\) zu \({\mathbb{C}}\) homöomorph ist (äquivalente Voraussetzung: falls \(\Gamma_ 0\) einfach zusammenhängend ist)? Kann es insbesondere vorkommen, daß \(\Gamma_ 0\) mehr als eine Singularität besitzt? Der Hauptsatz dieser Arbeit lautet: ist p ein irreduzibles Polynom und die Kurve \(\Gamma_ 0\) einfach zusammenhängend, so gibt es ein \(\alpha \in Aut({\mathbb{C}}^ 2)\) und natürliche Zahlen k und \(\ell\) mit \((k,\ell)=1\), so daß gilt: \(p(\alpha (x,y))=x^ k-y^{\ell}\) für alle \((x,y)\in {\mathbb{C}}^ 2\). Anders gesagt (s. Titel der Arbeit): jede irreduzible einfach zusammenhängende algebraische Kurve aus \({\mathbb{C}}^ 2\) ist äquivalent modulo \(Aut({\mathbb{C}}^ 2)\) zu einer quasihomogenen Kurve. Als unmittelbare Verallgemeinerung geben die Autoren an: eine einfach zusammenhängende Kurve in \({\mathbb{C}}^ 2\) ist entweder äquivalent modulo \(Aut({\mathbb{C}}^ 2)\) zu einer quasihomogenen Kurve, gegeben durch \(x^ my^ n\prod^{s}_{j=1}(x^ k-a_ jy^{\ell})=0\) mit \((k,\ell)=1\), \(a_ j\in {\mathbb{C}}^*\), oder zu einer Kurve gegeben durch \(x^ kq(y)=0\) mit \(q\in {\mathbb{C}}[y]\), \(k\in {\mathbb{N}}\). Im letzten Abschnitt der Arbeit werfen die Autoren zwei Fragen auf: (i) Wann folgt aus der Eigenschaft einer irreduziblen, affinen algebraischen Kurve, einfach zusammenhängend zu sein, die Zusammenziehbarkeit auf einem Punkt mittels einer regulären (oder wenigstens holomorphen) Abbildung? - (ii) Gibt es einen Zusamenhang zwischen der Topologie einer irreduziblen algebraischen Kurve in \({\mathbb{C}}^ 2\) und der Anzahl ihrer irreduziblen Singularitäten?
Reviewer: A.Duma

MSC:

14H10 Families, moduli of curves (algebraic)
32G15 Moduli of Riemann surfaces, Teichmüller theory (complex-analytic aspects in several variables)
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