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Applied and computational complex analysis. Volume 3: Discrete Fourier analysis - Cauchy integrals - Construction of conformal maps - Univalent functions. (English) Zbl 0578.30001
Pure and Applied Mathematics. A Wiley-Interscience Publication. New York etc.: John Wiley & Sons. XIII, 637 p. £61.35; 3-vol. set: £172.90; $ 224.00 (1986).

Es handelt sich um den dritten Band des Werkes, dessen erster Band (1974; Zbl 0313.30001) und dessen zweiter Band (1977; Zbl 0363.30001) erschienen ist. Zunächst zum Inhalt:

Kapitel 13 behandelt die diskrete Fourier-Analysis. Zunächst wird die schnelle Fourier-Transformation (FFT) eingeführt und deren numerische Stabilität bewiesen. Dann wird über die Anwendungen der FFT bei Fourierreihen (Abminderungsfaktoren), bei Laurentreihen und bei der Berechnung der konjugierten Funktion berichtet. Anschließend wird die Faltung eingeführt und gezeigt, wie sie mittels FFT bei Zeitreihen sowie für schnelle Algorithmen bei Potenzreihen eingesetzt werden kann. Insgesamt dient dieses Kapitel vor allem dazu, die Anwendung der FFT in späteren Teilen des Buches vorzubereiten.

In Kapitel 14 wird auf Cauchy-Integrale eingegangen. Am Anfang stehen die Formeln von Sokhotskyi (auch als Plemelj-Formeln bekannt), dann wird das Privalov-Problem samt einigen Anwendungen behandelt. Anschließend folgen singuläre Integralgleichungen und Anwendungen der Hilberttransformation.

Kapitel 15 behandelt die Potentialtheorie in der Ebene. Am Anfang steht das Dirichlet-Problem, zunächst für spezielle Bereiche, dann in allgemeiner Form; es folgen die Greensche Funktion, das Neumannproblem, Integralgleichungen der Potentialtheorie, die Poissongleichung und schnelle Poisson-Löser (mit FFT).

Kapitel 16 bringt Methoden zur konformen Abbildung einfach zusammenhängender Gebiete. Nach dem Riemannschen Abbildungssatz folgen Schmiegungsmethoden, deren algorithmischer Wert erst vor kurzem erkannt wurde. Weitere Themen: Randverhalten konformer Abbildungen, konforme Abbildungen und Potentialtheorie, Integralgleichungen erster und zweiter Art, Methoden mit konjugierten Funktionen, Parameterbestimmung bei Schwarz-Christoffel-Abbildungen, der konforme Modul eines Vierecks.

In Kapitel 17 werden Methoden zur konformen Abbildung mehrfach zusammenhängender Gebiete beschrieben. Nach einigen Existenzsätzen werden Schmiegungsmethoden und Verfahren mit linearen Integralgleichungen für zweifach zusammenhängende Gebiete behandelt. Es folgen Methoden mit konjugierten Funktionen sowie die Schwarz-Christoffel-Abbildung für zweifach zusammenhängende Gebiete und schließlich einige Aussagen bei beliebigem Zusammenhang.

Das Kapitel 18 geht auf den Zusammenhang zwischen Polynomentwicklungen und konformer Abbildung ein. Behandelt werden Faber-Polynome und - entwicklungen, der Raum der quadratintegrierbaren Funktionen über einem Gebiet, die Bergmansche und die Szegö’sche Kernfunktion.

Das letzte Kapitel handelt von schlichten Funktionen. Einfache Eigenschaften schlichter Funktionen, Faberpolynome und schlichte Funktionen, Schlitzabbildungen und die Loewnersche Differentialgleichung sind zunächst die Themen. Der Abschluß und Höhepunkt ist ein Beweis der Bieberbachschen Vermutung, die erst zu Beginn des Jahres 1985 von de Branges bewiesen wurde. Der Beweis hier folgt in etwa dem von Fitzgerald und Pommerenke, wird aber so geführt, daß dabei eine ganze Reihe von Ergebnissen aus früheren Kapiteln, insbesondere aus denen über Potenzreihen und Differentialgleichungen, eingesetzt werden können.

Der Beweis der Bieberbachschen Vermutung ist nur eines von vielen Beispielen im Text, in denen auf aktuelle Ergebnisse der Forschung eingegangen wird; insoweit besteht - wie der Autor auch im Vorwort bemerkt - ein gewisser Unterschied zwischen diesem Band und den beiden Vorgängern. Geblieben ist der gleiche, unnachahmliche Stil des Autors. Er nimmt sich Zeit, den Leser für das Folgende zu motivieren, er formuliert Ergebnisse in Worten, wo vielleicht ein paar Begriffe und Formeln mehr etwas Platz gespart hätten, und schafft es so, daß auch der Nichtfachmann ohne allzuviel Aufwand versteht, um was es geht.

Alle drei Bände zusammen stellen ein Werk dar, dessen Wert gar nicht hoch genug angesetzt werden kann. Im Vorwort des dritten Bandes beschreibt der Autor sein Ziel: ”I try to present, on a level that is mathematically precise but nevertheless accessible to nonspecialists, complex analysis not merely as a logical structure of great beauty and coherence, but also as a tool for modeling phenomena of the physical world, and a source of algorithms for the efficient use of these models”. Für die Anwender der komplexen Analysis werden die drei Bände für die nächsten Jahre, wenn nicht Jahrzehnte, das Standardwerk darstellen.

Ursprünglich waren für den dritten Band noch die folgenden Kapitel vorgesehen: Approximationstheorie, mehrere komplexe Variable, elliptische Differentialgleichungen. Wegen der Stoffülle des Gebrachten haben sie im dritten Band keinen Platz mehr gefunden. Der Autor schreibt im Vorwort, daß er hofft, diese Kapitel in einem vierten Band oder in einem anderen Kontext veröffentlichen zu können. Man kann dem Leser nur wünschen, daß sich diese Hoffnung erfüllt.

Reviewer: W.Niethammer

MSC:
30-01Textbooks (functions of one complex variable)
30C30Numerical methods in conformal mapping theory
65E05Numerical methods in complex analysis