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Studies on the Painlevé equations. II: Fifth Painlevé equation P V . (English) Zbl 0694.34005

[For part I see Ann. Mat. Pura Appl., IV. Ser. 146, 337-381 (1987; Zbl 0637.34019).]

Dans cet article, l’auteur étudie la 5ème équation de Painlevé notée P V suivant la méthode hamiltonienne inaugurée par lui pour l’équation la plus générale de Painlevé, notée P VI ·

L’idée principale est que l’espace des paramètres d’une telle équation est un hyperplan V d’un espace vectoriel complexe de dimension 4, définissant un système de racines de type A 3 , donc un groupe de Weyl affine noté W ˜·

Un résultat intéressant est alors: si v est sur le mur d’une chambre de W ˜, alors P V admet une solution particulière qui s’exprime à l’aide des fonctions hypergéométriques confluentes ou des fonctions élémentaires. Il faut noter que pour cette étude, l’auteur s’intéresse tout d’abord aux transformations birationnelles du système hamiltonien associé à P V . L’intérêt géométrique de tels résultats mérite d’être signalé et développé.

Reviewer: P.Bolley

MSC:
34M55Painlevé and other special equations; classification, hierarchies
34A35ODE of infinite order