Lettl, Günter The ring of integers of an abelian number field. (English) Zbl 0703.11060 J. Reine Angew. Math. 404, 162-170 (1990). L’A. propose une démonstration simple du théorème de la base de Leopoldt pour les anneaux d’entiers des corps abéliens. Dans un article resté justement célèbre, H. W. Leopoldt [J. Reine Angew. Math. 201, 119-149 (1959; Zbl 0098.034)] a montré, en effet, que l’anneau des entiers \(A_ K\) d’un corps de nombres K absolutment abélien est toujours libre sur son ordre associé \({\mathcal O}_ K\) dans l’algèbre de Galois \({\mathbb{Q}}[Gal(K/{\mathbb{Q}})]\), et a construit un élément \(t_ K\) de \(A_ K\) tel qu’on ait \(A_ K={\mathcal O}_ Kt_ K.\) Observant ici que les composantes de \(t_ K\) sont des traces de racines de l’unité (relativement à certaines sous-extensions d’un corps cyclotomique contenant K), l’A. définit directement un élément t comme somme de telles traces, montre de façon élémentaire qu’il obtient ainsi une \({\mathcal O}_ K\)-base de \(A_ K\), et retrouve ce faisant les principaux résultats de l’article de Leopoldt. Reviewer: J.-F.Jaulent Cited in 17 Documents MSC: 11R33 Integral representations related to algebraic numbers; Galois module structure of rings of integers 11R20 Other abelian and metabelian extensions Keywords:Galois module structure; order of the rational group ring; Basiszahl; traces of roots of unity; Leopoldt’s formula Citations:Zbl 0098.034 PDFBibTeX XMLCite \textit{G. Lettl}, J. Reine Angew. Math. 404, 162--170 (1990; Zbl 0703.11060) Full Text: DOI EuDML