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Unification of global and local existence theorems for holomorphic functions of several complex variables. (English) Zbl 0705.32006
Sur une partie Σ de la frontière Ω𝒞 1 , d’un domaine borné Ω de n , on se donne une fonction continue W satisfaisant (au moins au sens faible) les conditions de Cauchy-Riemann tangentielles. Dans le cas Σ=Ω, la solution du problème de Dirichlet dans Ω pour la donnée W est holomorphe: l’Auteur le prouve à l’aide d’une formule de saut pour un potentiel de double couche portée par Σ, et retrouve ainsi la formule intégrale de Bochner-Martinelli. Lorsque Σ est seulement une partie de Ω, une fonction W𝒞 1 (Σ) satisfaisant les conditions de Cauchy- Riemann tangentielles peut ne pas avoir de prolongement continue qui soit holomorphe sur Ω(un voisinage d’un point donné z 0 Σ): le théorème classique de Kneser-Lewy donne (pour W𝒞 2 ) une condition suffisante pour l’existence d’un tel prolongement. L’Auteur propose maintenant une condition suffisante, de nature géométrique (qui a, sur celle de Kneser-Lewy, l’avantage d’être satisfaite si Σ=Ω): en posant n = q × n-q avec 1qn-1, on suppose qu’il existe des domains bornés A dans q , B dans n-q , tels que (1) Σ=(A×B)Ω; (2) (A×B)Ω et (A×B)CΩ ¯ sont connexes; (3) tB, la coupe { sA: (s,t)Ω ¯} est compacte et, pour un ensemble non vide de t, elle est vide. Cette condition généralise la q-pseudoconvexité, car elle est réalisée en particulier si, Ω étant défini au voisinage de z 0 par ρ>0 avec ρ𝒞 2 , la forme de Levi de ρ au point z 0 , restreinte à l’hyperplan complexe tangent en z 0 à Σ, a au moins q valeurs propres <0.
Reviewer: M.Hervé
MSC:
32F10q-convexity, q-concavity
32A10Holomorphic functions (several variables)